[Ich]

Zitat von Scibo

A) Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant. Stationärer Fall und Vakuum. Damit werden mMn 4 der 10 Freiheitsgrade (die mit der Zeit) aus den anderen herleitbar. Ich weiß nicht, ob das stimmt. Aber es erscheint mir richtig.

Nein. 10 Freiheitsgrade sind 10 Freiheitsgrade, und die sind alle prinzipiell unabhängig voneinander einstellbar. Keiner ist aus den anderen herleitbar.

B) Bleiben 6 Freiheitsgrade, die allein die Raumkrümmung (ohne Zeit) charakterisieren. Sind diese aus einem Dichtefeld eindeutig ableitbar? Meiner Meinung nach ja. Leider weiß ich auch das nicht sicher, es ist nur so ein Gefühl. Diese 6 Freiheitsgrade sind die Änderung der Länge in drei Raumrichtungen und die Änderung der Winkel zwischen drei Raumrichtungen.

Auch: Nein. Es sind 10 Freiheitsgrade, nicht 6.

Eine Analogie: Mit einer heatmap (je "röter" die Farbe, umso höher, je "blauer" die Farbe, umso tiefer) lässt sich die Topologie eines geografischen Gebietes gut darstellen. Dafür brauche ich genau einen Parameter an jedem Punkt, die jeweilige Höhe.

Genau. Und damit kommst du auch genau so weit, wie dich ein Skalarfeld trägt, nämlich bis zur Newtonschen Gravitation.
Die nächste Näherung zeigt dann aber schon ein geschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Wenn man jetzt c=const. setzt, kommt man wie gesagt z.B. zu einer einparametrigen Näherung für die Lichtablenkung.

Der Clou: Dadurch, dass die heatmap ein Feld aus Höhenpunkten ist, beinhaltet sie mit dem Unterschied zu den Nachbarpunkten auch jeweils den metrischen Tensor an jedem Punkt.

Nein, auch die Komponenten des metrischen Tensors haben Ableitungen, und die beinhalten viel mehr Information als der Gradient eines Skalarfelds.

Ich kann das leider mathematisch noch nicht so zeigen, es sollte aber gehen... Davon bin ich überzeugt.

Oder hab ich doch irgendwo einen haarsträubenden Fehler?

Ja, mehrere. Mit deinen statischen Punktladungen lügst du dir in die Tasche, da funktioniert die einparametrige Näherung ausreichend gut. Wenn du deine Intuition wirklich testen willst, dann musst du an die Fälle gehen, wo deine Hypothese ganz offensichtlich nicht funktiniert, wie z.B. Gravitationswellen. Die sind reine Eigenschaften der Raumzeit, und sie tragen neben der Amplitude auch eine Richtungsinformation.
Du brauchst schon für Maxwell zusätzlich zum Skalarpotential noch ein Vektorpotential. Die ART erlaubt noch mehr Freiheiten. Wenn du dir sicher bist, dass dafür ein Skalar reicht, dann liegst du beweisbar falsch.