Zitat:
Zitat von Erik
Ja, das ist eben nicht die koordinatenunabhängige Formulierung. ;-)
Einen link habe ich jetzt leider nicht, aber im Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation
wird dem Thema ein ganzes Kapitel gewidmet.
Man kann es praktisch genauso machen, wie in der ART, die Raumzeit hat eben nur
eine andere (etwas kompliziertere) Struktur. Man hat eine vierdimensionale Raumzeit
M, ein skalares Feld t: M ---> R als absolute Zeit und eine Metrik auf jedem
tangentialen Unterraum ker(dt).
Die Bahnen von frei fallenden Teilchen gehorchen auch hier dem Äquivalenzprinzip und
definieren die Geodäten der Raumzeit und einen torsionsfreien affinen Zusammenhang D.
Die Krümmung der Raumzeit wird durch die Massendichte rho bestimmt:
Ricci ~ rho dt * dt.
Jetzt gibt es ein paar Axiome, die die Verhältnisse zwischen t und dem affinen Zusammenhang
regeln, z.B. muß das Differential dt kovariant konstant sein D(dt) = 0. Außerdem soll
der absolute Raum flach sein. Also rein räumliche Vektorfelder V (d.h. dt(V) = 0 ) müssen
entlang beliebiger infinitesimaler geschlossener Kurven kovariant konstant sein.
Dasselbe gilt für beliebige Vektoren entlang infinitesimaler geschlossener räumlicher
Kurven.
Eine Kraft ist ein räumliches Vektorfeld F auf M, das eine Abweichung von der geodätischen Bewegung
bewirkt. Die Bewegungsgleichung lautet dann koordinatenunabhängig
D_u(u) = F,
wobei u der Tangentialvektor der Bahnkurve ist, und gilt so in jedem Bezugssystem. In
beliebigen Koordinatensystemen kann diese Gleichung natürlich auch beliebig kompliziert
aussehen. Beschleunigte Koordinatensysteme unterscheiden sich von Inertialsystemen
dadurch, daß in letzteren die Komponenten des affinen Zusammenhangs verschwinden. Scheinkräfte sind
also nichts anderes, als von null verschiedene Zusammenhangskomponenten, aber die stecken
in der kovarianten Ableitung D schon drin und ändern an der koordinatenunabhängigen
Gleichung nichts.
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Danke auch für die umfangreiche Erklärung, Erik; ich ahne vielleicht, was du sagst.
Von koordinatenunabhängigen Formulierungen habe ich nie so recht etwas mitbekommmen; das sind wohl diese differentialgeometrischen Methoden, die mit den Superstrings enorm an Beliebtheit gewannen.
Und das wird in dem alten Buch von Misner, Thorne & Wheeler auch schon behandelt. So weit war ich da im Studium anscheinend nie eingedrungen.
Gruss, Uli