Du koenntest sagen, na es ist reine Definition dass nur der Nebenwert gemeint ist und Wurzel(1)=-1 somit falsch ist.
Im Komplexen sieht man sehr viel deutlicher, dass die Nebenwerte falsch sein koennen.
Man erhaelt ganz konkrete falsche Zahlenwerte.
Im folgenden Beispiel an den Hauptsatz denken !
Die Gleichung z^(1/3)=i hat eine Loesung, keine drei !
In der Probe berechne ich alle Nebenwerte. Und zwei davon MUESSEN sogar falsch sein.
Zitat:
z^(1/3)=i
z=i^3 = i*i*i = -i
Im Prinzip sieht man an i*i*i schon dass -i korrekt ist
Wir machen dennoch die Pobe
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Dazu setzten wir -i in die linke Seite ein also (z=-i)^(1/3)
und schauen ob dann wie auf der rechten Seite i rauskommt
Wir werden drei unterschiedliche Ergebnisse erhalten.
Wenn eines davon i ist, ist die Probe gelungen. Ok ?
Nur ein Ergebnis kann i sein.
Die anderen Nebenwerte sind Loesungen der Gleichung z^3=-i
Das ist aber nicht die Gleichung die wir loesen wollen !
Sonder z^(1/3)=i
Die Probe
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-i=exp(i*3/2*Pi+2*k*Pi)
(-i)^(1/3)=exp(i*(3/2*Pi+2*k*Pi))^(1/3) ,k=0,1,2
(-i)^(1/3)=exp(i*(1/2*Pi+2*k/3*Pi)) ,k=0,1,2
z=cos((1/2*Pi+2*k/3*Pi))+i*sin((1/2*Pi+2*k/3*Pi))
k=0
z0=i (Probe bestanden)
k=1
z1=-1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)
k=2
z2= 1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)
( k=3 , z=I, ab hier gehts von vorne los )
z1 und z2 erfuellen die Gleichung z^(1/3)=i nicht !
sondern
z^3=-i
nach dieser Gleichung wurde aber nicht gefragt
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Viele Gruesse