@Emi
Aisfuehrlich lautet der von dir erwaehnte "Beweis":
Wenn die Nachkommastellen einer Zahl z periodisch ist mit der Periodelaenge p, so bleibt der Nachkommastellenanteil erhalten wenn ich die Zahl mit 10^p multipliziere :
z=0.123 123 123 ....
1000*z=123.123 123 123 ....
Da der Nachkommastellenanteil gleich bleibt kann ich diesen durch subtrahieren eleminieren :
1000*z-z = 123
999*z=123
z=123/999
Das 1/3 Beispiel.
z=0.333333 ....
10*z=3.33333 ....
z=3/9
Uberlege gerade wie hier der Zusammenhang zu meinem frac Beweis ist.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/frac.htm
BTW :
Die Periodendauer dort ist nicht die Periodenlaenge der Nachkommastellen, sondern die
der frac Funktion.
Obige Rechnung kann man also zusammenfassen zu :
1) frac(k*x)=frac(x)
k=10^n ist nicht die kleinste Zahl, fuer die die Bedingung 1) gilt.
Aber natuerlich der bequemste Faktor fuer den Beweis.
Der kleinste Faktor fuer den 1) gilt ergibt sich wie folgt :
Aus frac(1/3) folgt die Periodendauer p=3 denn frac(1/3*(k+3))=frac(1/3*k)
Fuer k=1 erhalte ich den speziellen Wert frac(1/3) fuer den gilt frac(1/3)=frac(4/3)
da p/q*(q+1) =p/q +p ist der ganzzahlige Anteil fuer p/q <1 gleich p. Im Falle1/3 gleich 1
Damit :
4*z-z=1, z=1/3
Allerdings laesst sich diese Gleichung ohne zusaetzliche Ueberlegungen noch nicht aus der Fliesskommadarstellung aufstellen.
Dafuer kann man bequem weitere Zusammenhaenge sofort aus der Frac Periodizitaet herleiten :
Beispiel :
12 / 123 hat die selbe Nachkommastellen wie 12*124/123
Etwas tiefere Erkenntnis
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Multipliziere ich die Zahl z mit 10^n, so dass die resultierende Zahl den selben Nachkommaanteil aufweist so entspricht dies einer frac Periode von s=(10^n)-1
Die frac Periodizitat ist aber durch den Nenner der Bruchdarstellung p/q gegeben.
Daraus folgt unmittelbar, dass (10^n)-1 ein Vielfaches von q sein muss !
Beispiel :
1/7=0.142857 142857 142857 ...
Multiplikation mit 1 000 000 ergibt den selben Nachkommaanteil.
Damit muss 999 999 durch 7 teilbar sein :
999999/7=142857.
Voila :-)
Entspricht natuerlich auch 1/7=142857/999999
Und 10^n muss teilerfremd mit q sein, da wir periodische Zahlen betrachten.
Damit koennen wir auch bestimmen, welche Kehrwerte nauerlicher Zahlen nichtperiodisch
sind. Das sind die Produkte der Potenzen der Primfaktoren von 10. Also von 2 und 5
Satz:
Die Zahl z=1/(2^n*5^m) hat fuer alle n,m keine periodischen Nachkommastellen.