Rechnergestuetzter Test ob Heims Loesung :
LSG) r*q*exp(-q)=A*(1-gama*r*m^3/h^2)^2
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mit
A:=3*gama*M/16/c^2;
M:=L*m; # Makroskopische Masse
q:=1-sqrt(1-3/8*phi(r)/c^2);
die DGL
DGL) 3*(dphi/dr)^2+32*c^2*F(r)*(dphi/dr+F(r)*phi))
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mit
> F(r):=(h^2+gama*m^3*r)/r/(h^2-gama*m^3*r);
erfuellt.
Vorgehensweise :
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Einsetzen der Loesung LSG in die DGL.
Die Loesung ist implizit gegeben, laesst sich aber ueber dei LambertW
Funktion auch explizit formulieren.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion
Die Ableitungsfunktion der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden:
Damit kann die Loesung LSG explizit in die DGL eingesetzt werden.
Schritte in Maple :
Aufloesen der impliziten Funktion :
Lsg(r):=solve(r*q*exp(-q)=A*(1-gama*r*m^3/h^2)^2,phi(r));
Es ergibt sich eine LambertW Funktion
Differentation des expliziten Ausdrucks :
d_lsg:=diff(Lsg(r),r);
Einsetzen in die DGL :
gl:=(3*d_lsg^2+32*c^2*F(r)*(d_lsg+F(r)*lsg));
Es ergibt sich ein recht langer Ausdruck fuer gl.
Damit die DGL durch LSG erfuellt ist muss fuer diesen gelten: gl=0
Zunaechst hatte ich gl durch Einsetzen der speziellen physikalischen Werte dahingehend graphisch untersucht.
MAPLE ist jedoch auch in der Lage den Ausdruck zu vereinfachen.
Ueber die Anweisung :
simplify(gl)
Erhaelt man als Ergebnis :
gl=0
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Damit erfuellt Heims Loesung die Ausgangs-DGL
MAPLE Code :
Zitat:
> # Ueberprufen des Heimschen Gravitationsgesetzes.
> ################################################
> with(linalg): with(DEtools):
> F(r):=(h^2+gama*m^3*r)/r/(h^2-gama*m^3*r);
> # HILFSVARIABLEN FUER HEIMS LOESUNG
> M:=L*m; # Makroskopische Masse
> A:=3*gama*M/16/c^2;
> q:=1-sqrt(1-3/8*phi(r)/c^2);
> # Loesen der impliziten Gleichung
> Lsg(r):=solve(r*q*exp(-q)=A*(1-gama*r*m^3/h^2)^2,phi(r));
> lsg:=simplify(Lsg(r));
> d_lsg:=diff(Lsg(r),r);
> # Erstellen der Differentialgleichung:
> gl:=(3*d_lsg^2+32*c^2*F(r)*(d_lsg+F(r)*lsg));
> simplify(gl);
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