Hi Timm
Zitat:
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Ist es denn so, daß die Schrödingergleichung das Werkzeug dafür ist, wie gehe ich mit einem auf nichtlineares Verhalten beruhendem Wellen-Phänomen um? Gibt es vielleicht weitere Beispiele? In der Akustik?
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Es gibt sehr viele Formen von Wellen. Oberflaechenwellen, Biegewellen, Torsionswellen, Schallwellen, in Festkoerpern, Fluessigkeiten, Gasen ...
Unterschiedlichster Feldkomponenten :
Longitudinal, Transversal ...
Formal hat die Wellengleichung aber immer den selben Charakter. Es ist ein hyperbolisches PDE System. Und in der Realitaet ist es immer nichtlinear.
Wie man mit nichtlinearen Wellen umgeht kann ich dir recht genau beschreiben, denn damit habe ich mich einige Jahre an der Uni beschaeftigt. Naechtelang :-)
Man kann sie z.B.auf dem Digitalrechner simulieren. Dazu benoetigt man erstmal geeignete Ausgangsgleichungen.
Das waeren die Navier Stokes Gleichungen :
Fuer ideale Fluessigkeiten, adiabatische Prozesse vereinfachen sich diese zu den Euler Gleichungen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen
Diese beinhaltet neben der Wellenausbreitung noch Stroemunsgvorgaenge, die im akusischen Fall nicht relevant sind. Ueber einen Stoerungsansatz kann man die Euler Gleichungen schliesslich zu den nichtlinearen allgemeinen akustischen Grundgleichungen vereinfachen. (Wobei einfach hier relativ ist)
Ebenso kann man die Zustandsgleichung ueber eine Taylorapproximation oder andere Ansaetze annaehern.
Ich kann dir das verwendete Modell gerne mal schicken.
Dazu benoetigt man nun einen Algorithmus der hochgenau arbeitet (Gruppengeschwindigkeitstreu, geringe numerische Daempfung). Hyperbolische Gleichungen simuliert man sukzessive iterativ. Ungenauigkeiten in jedem Iterationsschritt summieren sich daher auf. Ebenso muss die Integration an nichtlineare Gleichungen angepasst sein. Ob man physikalisch sinnvolle Ergebnisse enthaelt ist z.B.sogar davon abhaengig wie man die Gleichungen rein formal behandelt.
Ich habe damals dieses Verfahren verwendet:
http://www.math.fsu.edu/~tam/Multi-size-mesh%20DRP.pdf
Das ist supergenau und wird auch bei der NASA eingesetzt. Lustig, dass man TAM nun sogar im www findet.
Der Grundgedanke ist recht einfach. Die numerschen Operatoren werden elementar ueber die Mehode der kleinsten Quadrate entworfen und gewuenschte Eigenschaften die man ansonsten ueber einen Fourierentwurf enthaelt mittels der Methode von La Grange beim Entwurf alsNebenbedingung beruecksichtigt. Klingt kompliziert, aber ist recht einfach.
Hier mal der Grundgedanke ohne die La Grange Methode :
http://home.arcor.de/richardon/richy...uss/gindex.htm
Irgendwo auf dem Rechner hab ich noch ein komplettes Entwurfsprogramm fuer beliebige Operationen und Synthesefunktionen mittels diesem wirklich sehr sehr leistungsfaehigen Verfahren von TAM.
Einfachen Algorithmen (Runge Kutta,MacCormick), die keine DRP Eigenschaft aufweisen sind ungeeignet um nichtlineare Wellenausbreitungen zu simulieren. Entweder instabil oder die nichtlinearen Effekte gehen in der Ungenauigkeit voellig unter.
Ich hab damals noch eine kleine Erfindung gemacht, indem ich statt der im Paper verwendeten Grid Adaption das Rechnegitter ueber eine Koordinatentransformation,also praktisch virtuell angepasst habe.
Wenn vor allem Die Stossfront einer nichtlinearen Welle von Interesse ist, kann man mit dieser Koordinatentransformation alleine ueber die modifizierten Gleichungen, also ohne zusaetzlichen rechenorganisatorischen Aufwand in die Welle hineinzoomen.
Dann benoeigt man noch einen superschnellen Rechner mit moeglichst viel Speicher,geeignete Modelle fuer Randbedingungen. Und los gehts :-)
(Wobei jeder aktuelle PC die damaligen High End Workstations an der Uni (0.5 Giga Ram) um Laengen schlaegt. Bis auf das 128 Bit Betriebssystem)
Die Oberflaechenwellen an einem Strand sind natuerlich nichtlinear.
Man sieht hier sehr schoen einen typischen nichtlinearen Effekt. Das Ausbilden einer Stossfront. D.h. die Welle steilt sich auf, da die Gruppengeschwindigkeiten nicht linear zur Frequenz sind.
Und schliesslich bricht die Welle, Loesung zusammen.
Diese nichtlineare Aufsteilung wird auch in Geraeten verwendet mit denen Koerpersteine zertruemmert werden. Das war auch der Bereich in dem ich taetig war. Und fuer die Algorithmen gab es auch mal mathematische Unterstuetzung eines Profs vom Kernforschungszentrum. Die Themen sind also schon verwandt.
Fuer die Beschreibung von "Monsterwellen" kann man unter "Solitonen" einige Informationen finden.
Hier gibt sich auch ein Zusammenhang zu Kettenbruechen.
Genausowenig kann man die Schroedingergleichungen bei komplexeren Systemen analytisch loesen.
Die ganzen Orbitalmodelle sind dann auch nur nurmerische Simulationen. Und hier werden sicherlich aehnliche Verfahren wie in der Akustik mit all ihren Problemen angewendet.
ciao