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Zitat von SCR
Wir möchten die Krümmung der Fläche bestimmen:
Wir ziehen zwei parallele Linien. Falls beide überall den gleichen Abstand aufweisen ist die Fläche MATHEMATISCH ungekrümmt.
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Zunächst: Zweischen einer mathematischen Krümmung (besser einer Gaußschen Krümmung) und einer physikalischen (in Bezug auf die Raumzeit) besteht kein essentieller Unterschied. Es genügt deshalb, von der Krümmung zu sprechen.
Zu deiner Vorgehensweise:
Eine Parallele ist dadurch charakterisiert, dass ihr Abstand zu einer zweiten Geraden an jedem Punkt ihres Verlaufs konstant ist. Das Problem ist nur, dass es selbst auf einer Kugeloberfläche Linien gibt, die immer denselben Abstand voneinander aufweisen, nämlich Breitenkreise.
Umgekehrt schneiden sich zwei Geraden selbst in der Euklidischen Ebene in einem fernen Punkt. Das entspricht der Wahrnehmung des menschlichen Auges und ist Bestandteil der Projektiven Geometrie.
Krümmungen ermittelt man deshalb nicht über Linien mit äquidistantem Abstand, weil dies äusserst irreführend sein kann.
Die einfachste Methode zur Feststellung der Geometrie einer Fläche besteht in der Vermessung von Dreiecken. Ist die Winkelsumme gleich zwei Rechten, liegt eine Euklidische Geometrie (K = 0) vor. Ansonsten haben wir es mit einer Riemannschen (K = 1) oder einer Bolyai-Lobatschweski (K = -1) Geometrie zu tun.
Eine zweite Methode zur Ermittlung der Geometrie besteht in der Vermessung von Kreisumfang und Kreisdurchmesser. Ist das Verhältnis U/Pi gleich dem gemessenen Durchmesser, liegt eine Euklidische Geometrie vor. Auf der Poincaré'schen Kreisscheibe bspw. würde ein aussenstehender Beobachter die frappante Feststellung machen, das der gemessene Durchmesser vom berechneten Durchmesser abweicht. Durch weitere Untersuchungen käme er zum folgerichtigen Schluss, dass eine hyperbolische Geometrie vorliegt.
Gr. zg