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Zitat von richy
Hi
V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ? |
Ich war mir zu Anfang, als ich deine Frage gelesen hatte, nicht sicher, ob sie komplex sein müssen - ich dachte, sie sind es halt im allgemeinen Fall.
Aber nach ein wenig Nachdenken komme ich zu dem Schluss, dass es rein reelle Lösungen nicht geben kann: mit Psi und V reell ist die rechte Seite der SGL reell (die Ableitung einer reellen Funktion nach einer Koordinate ist ebenfalls reell). Wenn Psi reell ist, muss aber die linke Seite rein imaginär sein, weil die Ableitung einer reellen Funktion multipliziert mit i rein imaginär ist, d.h. für reelle Psi stände auf der rechten Seite ein reeller Term und auf der linken ein imaginärer: das Gleichheitszeichen ist nicht zu erfüllen.
Einige Lösungen der
zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen. Wenn das V nur von den Koordinaten und nicht von der Zeit abhängt, dann kannst du einen Separationsansatz für die Lösung der zeitabhängigen SGL machen (nur eine Raumdim. x, geht für 3 aber genauso)
PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)
damit gehst du in die SGL und du erhältst
Psi(x) * hquer*w* exp((-i*w*t)
= -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) * exp((-i*w*t) + V(r)*Psi(x) * exp((-i*w*t)
Das kann für beliebige t nur dann erfüllt sein, wenn (Exponentialfaktor "herausgekürzt")
hquer*w * Psi(x) = -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) + V(r)*Psi(x)
das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gl. und wir identifizieren
hquer*w
wie üblich als Energie (w="omega" (Kreisfrequenz)).
Diese zeitunabhängige SGL hat z.B. für das didaktisch sehr interessante Kastenpotenzial rein reelle Lösungen. Jedoch ist die komplette Lösung der zeizabhängigen SGL selbst dann das Produkt aus
exp(-i*w*t)
und dem rein reellen ortsabhängigen Anteil der Lösung - also doch wieder komplexwertig.
Lösung der zeitunabhängigen SGL für eine räumliche Dimension x im Kastenpotenzial ist z.B. hier
http://sandphysik.de/quant15.pdf
beschrieben. Die Diskussion - dieses noch simplen - ist übrigens sehr zu empfehlen; sie demonstriert bereits, wie es zu einigen typischen "Quanteneffekten" kommt (diskrete Energieniveaus, Tunneleffekt, ...).
Gruß,
Hawkwind