Rein algebraische Loesung Verhulst r=2:
Ausgangsgleichung
y(k+1)=2*y(k+1)*(1-y(k))
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Umformen zur (bekannten) Zielsubstitution
y(k+1)=2*y(k+1)-2*y(k)^2
2*y(k+1)=4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=1-4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=(1-2*y(k))^2
ln(1-2*y(k+1))=2*ln(1-2*y(k))
Zielsubstitution : (allgemein g{y[k+1]}/g{y[k]}=konstant
Das ist der wichtigste Punkt bei DZGL's !
Zitat:
ln(1-2*y(k+1))
-------------- =2
ln(1-2*y(k))
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Substitution : z(k)=ln(1-2*y(k))
z(k+1)=2*z(k)
Loesung :
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z(k)=z0*2^k
=> Loesung Ruecksubstitution
ln(1-2*y(k))=ln(1-2*y0)*(2^k) (Hierauf basiert Wolframs Postulat der Umkehrfunktion)
ln(1-2*y(k))=ln((1-2*y0)^(2^k))
(1-2*y(k))=(1-2*y0)^(2^k)
y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
***********************
Fuer den chaotischen Fall r=4 lautet die Zielsubstitution
Zitat:
arccos(1-2*y(k+1))
---------------------------- =2
arccos(1-2*y(k))
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Diese Transformation ist noch abgefahrener :-) ...
Die spezielle cos .... arccos Funktion erzeugt in jedem Iterationsschnritt doppelt so viel Nullstellen wie zuvor. An der selben Stelle wie das entsprechende verkettete Polynom.
Sie ist das verkettete Polynom. Und alle Nullstellen sollen reell sein !
y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
ist ein Polynom 2^k ter Ordnung.
Das ist offensichtlich.
y(k)=(1-cos(2^n*arccos(1-2*y(0))))/2
ist exakt ein Polynom 2^k ter Ordnung. (keine Naeherung, abgebrochen Potenzreihe)
Aber nur fuer die speziellen veketteten p(4,k) Polynome
Das ist unglaublich