[EMI]

Zitat von Marco Polo (Skript)

Die Fluchtgeschwindigkeit ist bekanntlich die Geschwindigkeit der kreisförmigen Bahn am gegebenen Radius. Diese Bahn erfüllt die Gleichung:
GMm/r²= mv²/r
(Gravitative Zentripetalkraft = Zentrifugalkraft). Dann gilt für die gesuchte Entfernung:
r =GM/v²

Das ist nicht die Fluchtgeschwindigkeit, sondern die Geschwindigkeit, um antriebslos in einer Umlaufbahn um einen Himmelskörper zu bleiben (erste kosmische Geschwindigkeit).

Fluchtgeschwindigkeit(zweite kosmische Geschwindigkeit) nach Newton:

Um ein grav.Feld verlassen zu können, muss die kinetische Energie einer Masse m größer oder gleich der potentiellen Energie des Himmelskörpers sein, also:

1/2mv² = GMm/r
v = √2GM/r

Die Fluchtgeschwindigkeit ist um den Faktor √2 größer als die erste kosmische Geschwindigkeit.

Fluchtgeschwindigkeit(zweite kosmische Geschwindigkeit) nach Einstein (SRT):

Für den freien Fall im homogenen grav.Feld (Erdbeschleunigung g=konstant) gilt in der klassischen Mechanik:

[1] v = √2gh , mit Fallhöhe h

Geht in [1] h→∞ , geht vmax→∞, was nicht richtig sein kann.

wie sich mit Hilfe der SRT leicht zeigen lässt folgt für den freien Fall in relativistischer Form im homogenen grav.Feld (g=konstant):

[2] v = c √(1 - e^-(2gh/c²))

Geht in [2] h→∞ geht vmax→c

In einem inhomogenen grav.Feld ist g nicht mehr konstant, sondern von der Höhe h abhängig.
Mit gh=g(r/(r+h))² , mit Erdradius r folgt für ein inhomogenes grav.Feld:

[3] v = c √(1 - e^-(2ghr / c²(r+h)))

Geht in [3] h→∞ folgt:

[4] vmax = c √(1 - e^-(2gr/c²)), nur abhängig von der Erdbeschleunigung g und den Erdradius r, also unabhängig von der Fallhöhe.

Mit 2gr << c² ergibt die Reihenentwicklung:

e^-(2gr/c²) = 1 - 2gr/c² + 4g²r²/2!c²c² - + ...

nach Abbruch der Reihe nach dem 2.Glied (bei 2gr << c²):

v ≈ √2gr, mit dem Erdradius r≈6370000 m und der Erdbeschleunigung g=9,81 m/s² folgt hier:

vmax ≈ 11180 m/s , die Fluchtgeschwindigkeit der Erde.

Die maximale Fallgeschwindigkeit einer aus dem Unendlichen fallenden Masse ist immer genau so groß wie die Fluchtgeschindigkeit die diese Masse benötigt um den Himmelskörper wieder zu verlassen auf den sie aus dem Unendlichen gefallen ist.

Mit g = MG/r² folgt mit v ≈ √2gr:

v ≈ √2MG/r

Wir sehen, dass das Newtonsche und das SRT Ergebnis quasie übereinstimmen.

Setzen wir als Fluchtgeschwindigkeit in diese Ergebnisse c ein folgt:

c = √2GM/r
c² = 2GM/r
r = 2GM/c²

Dieser Radius ab dem die Fluchtgeschwindigkeit c beträgt, folgt nach Newton und nach der SRT aber eben NICHT nach der ART!

Starke grav.Felder wurden bei den obigen Berechnungen überhaupt nicht berücksichtigt. Berücksichtigt man diese, folgt eben gerade:

r = GM/c²

Gruß EMI

Nach PS: Ich gehe mal davon aus, das ihr zwischenzeitlich das von Marco verlinkte Skript soweit durchgearbeitet habt.
In diesem hochinteressanten "Reiseführer durch die ART" habt ihr sicherlich auch das auf Seite 83 gefunden:

Zitat von Skript

Sonne RG = 1,477 km , Erde RG = 4,437 mm

Zum Abschluss unserer Diskussion folgendes Resümee von mir:

Nichts, auch nicht Photonen können sich je aus dem Bereich rg=GM/c² wieder entfernen, sie sind für immer von unserer Raumzeit abgeschnürt.

Im Bereich der Shpäre rg bis 2rg können sich Teilchen nur mit c auf Kreisbahnen halten um nicht in den rg zu stürzen. ("1. Kosmische Geschwindigkeit")
Teilchen denen das gelingt können nur Photonen sein, die Sphäre 2GM/c² können diese aber nie mehr verlassen da sie dazu c überschreiten müssten.
("2. kosmische Geschwindigkeit" müsste hierzu größer c werden)

Photonen die hinter die Sphäre 2rg verschwunden sind, sind also auch für einen äußeren Beobachter für immer weg, obwohl sich diese noch in unserer Raumzeit auf einer Kreisbahn um das SL (rg) befinden könnten.