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Alt 04.11.11, 18:51
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richy richy ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Math Verhulst Mandelbrotform

Herleitung der Gleichung

arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|

ueber den komplexen Logarithmus : (Es existieren auch arccos Additionstheoreme)


(Diese kann man sich auch aus den Ableitungen herleiten, der Gaussschen Zahlenebene: z=cos(u))

Rechte Seite
2*arccos(z)=-i*2*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
Im ln() entspricht der Faktor 2 gleich dem Quadrat des Arguments :
2*arccos(z)=-i*ln( (z+i*wurzel(1-z^2))^2 )
2*arccos(z)=-i*ln( z^2 + i*2*z*wurzel(1-z^2) -(1+z^2) )
2*arccos(z)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2) )
*************************************************

Linke Seite
Einsetzen des Arguments 2*z^2-1 in den Logarithmus
arccos(2*z^2-1)=-i*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
arccos(2*z^2-1)=-i*ln( (2*z^2-1) + i*wurzel(1-(2*z^2-1)^2))
Der Ausdruck 2*z^2-1 stimmt bereits ueberein, so dass nur noch das Argument der Wurzel betrachtet werden muss :
1-(2*z^2-1)^2)=
1-(4*z^4-4*z^2+1)=
4*(-z^4+z^2)=
z^2*2^2*(1-z^2)
Den Faktor vor der Summe kann man aus der Wurzel ziehen und man erhaelt :
arccos(2*z^2-1)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2)
*************************************************

Linke und rechte Seite sind somit gleich und die Gueltigkeit im interessierenden Bereich gezeigt.

Ge?ndert von richy (07.06.12 um 01:22 Uhr)
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