Herleitung der Gleichung
arccos(2*x^2-1) =
2*arccos|x|
ueber den komplexen Logarithmus : (Es existieren auch arccos Additionstheoreme)
(Diese kann man sich auch aus den Ableitungen herleiten, der Gaussschen Zahlenebene: z=cos(u))
Rechte Seite
2*arccos(z)=-i*
2*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
Im ln() entspricht der Faktor 2 gleich dem Quadrat des Arguments :
2*arccos(z)=-i*ln( (z+i*wurzel(1-z^2))
^2 )
2*arccos(z)=-i*ln( z^2 + i*2*z*wurzel(1-z^2) -(1+z^2) )
2*arccos(z)=
-i*ln(
2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2) )
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Linke Seite
Einsetzen des Arguments
2*z^2-1 in den Logarithmus
arccos(2*z^2-1)=-i*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
arccos(2*z^2-1)=-i*ln( (
2*z^2-1) + i*wurzel(1-(
2*z^2-1)^2))
Der Ausdruck 2*z^2-1 stimmt bereits ueberein, so dass nur noch das Argument der Wurzel betrachtet werden muss :
1-(2*z^2-1)^2)=
1-(4*z^4-4*z^2+1)=
4*(-z^4+z^2)=
z^2*2^2*(1-z^2)
Den Faktor vor der Summe kann man aus der Wurzel ziehen und man erhaelt :
arccos(2*z^2-1)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*
2*z*wurzel(1-z^2)
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Linke und rechte Seite sind somit gleich und die Gueltigkeit im interessierenden Bereich gezeigt.