Kurz zurueck zum Ausgangsthema :
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oder
Wie Richy zu seiner Fields Medallie kam
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Zitat:
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Zitat von Richy Nachbarthread
Warum ist mir diese logistische Gleichung denn so ungemein wichtig ?
Seit ich die Loesung fuer den chaotischen Fall kenne ist sie wichtiger denn je. Denn nun laesst sich die Loesung auch als Verhalten eines nichtdiskretesierten Systems auffassen. Das ist in mehrfacher Hinsicht interessant. Denn der im numerischen Experiment gemessene Informationsverlust ist nicht nur auf diskretisierte Systeme beschraenkt sondern auch auf (recht exotische) kontinuierliche Loesungsfunktionen einfacher Systeme.
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Folgende Aussage von mir war ein voreiliger Trugschluss :
Zitat:
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Allerdings muesste man dazu die Gleichung noch einer Ralteil/Imaginaerteil Zerlegung unterziehen. Das ist aber problemlos. Und dann waere dieser sehr wichtige Zusammenhang gezeigt.
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Falsch, denn die logistische Loesung ist im Gegensatz zur Fib Loesung fuer alle k reell.
Na dann sind wir fast schon fertig. Wobei ich gerade im Hinterkopf habe :
Eine chaotische DGL muss im Gegensatz zu einer chaotischen DZGL die Ordnung 2 aufweisen. Moeglicherweise werde ich diese Behauptung, Annahme der Mathematik im folgenden widerlegen. Aber so einfach gibt es die Fields Medallie nicht. Richy sei schlafsam und bewusstlos *fg Hmmmm ... Yepp, das hatte ich mir ja alles schon ueberlegt.
Der Ausgangspunkt ist die chaotische Loesung der logistischen Abbildung fuer r=4
x(t):=1/2*(1-cos(2^t*arccos(1-2*x0)));
Wir haben zunaechst scheinbar 2 Chancen fuer die Fieldsmedallie :-)
Erstmal ist unsere Vorwaertsiterierte der DZGL voellig determiniert. Und daran aendert sich auch nichts wenn wir k, k element N statt diskret kontinuierlich annehmen. k=t, t element R. Das zeigt auch die Grafik der Loesung :
Wenn wir nun aus der Loesung eine Differentialgleichung DGL konstruieren, so werden wir deren Loesung widerum angeben, aber kein Mensch wird diese dann als eine chaotische Loesung ansehen ! Das Chaos ist ja nur scheinbar und basiert auf der Abtastung ! Gemein.
Wir muessten zusaetzlich eine Abtastung implementieren deren delta wir als Grenzwert gegen Null streben lassen. Diese Chance ist erstmal auf Eis gelegt.
Die Rueckwaertsiterierte ist der weitaus interessantere mehrdeutige Fall. Dazu moechte ich zuerst nochmals die Nullstellen des Polynoms in der komplexenen Ebene fuer den Fall 4 darstellen. Fuer den Fall r=2 ist dies ein Schnoeder Punkt z=0.5. Fuer 1*sqrt(5) ergab sich ein fraktales Bild.
(Normalform)
Fuer r=4 sind dagegen alle Nullstellen reell !
(Zentrierte Form !)
> restart; with(plots): z:=rand(0..1): # z=Zufallszahl 0..1
> s:=0; r:=1+sqrt(9);
> N:=1000;
> for i from 0 to N do
> s0:=evalf(1/r*(r*(2*s+r-2))^(1/2));
> s1:=-evalf(1/r*(r*(2*s+r-2))^(1/2));
> zu:=z();
> if zu=1 then s:=s0 else s:=s1; fi;
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq(f[i],i=0..N):
> complexplot([druck],style=point);
Jetzt wird es etwas einfacher aber richtig interessant ! Daher ein eigener Beitrag ...