Hallo ihr beiden,
Ihr misstraut mir offensichtlich :-D - Sehr sehr gut!
Zitat:
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Zitat von Marco Polo
was muss man sich unter dem Volumen einer 2-Sphäre vorstellen?
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Sehr gute Nachfrage: Eine 2-Sphäre besitzt einen Flächeninhalt - kein Volumen (!).
Zitat:
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Zitat von Marco Polo
Ist das so eine Art Kugelschale, oder ist es tatsächlich 4/3 pi r³?
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Wenn wir uns die 2-Mannigfaltigkeiten "als Körper im dreidimensionalen Raum" visualisieren dann ist stets nur deren Oberfläche relevant.
Alles andere ist für uns in diesem Sinne "Leerraum" - Auch das vom jeweiligen "Körper" (eventuell) umschlossene "Innere".
Folgende fünf euklidische Grundtypen von 2-Mannigfaltigkeiten unterscheidet man (auf Grundlage der beiden Prinzipien "Verkleben" und "Verdrillen") typischerweise:
a. triviale Fläche: "unverklebt" und "unverdrillt"
b. 2-Zylinder: "einfach verklebt" und "unverdrillt"
c. 2-Torus: "zweifach verklebt" und "unverdrillt"
d. Möbius-Band: "einfach verklebt" und "einfach verdrillt"
e. Kleinsche Flasche: "zweifach verklebt" und "zweifach verdrillt"
Legt man mehrere Flächen zugrunde kann man weitere euklidische 2-Mannigfaltigkeit schaffen:
Bernd ist dann aber im übertragenen Sinn nicht mehr nur auf einem sondern auf/in mehreren Fernsehschirmen zu Hause -
Wenn er einen links verlässt kommt er z.B. auf einem anderen von oben wieder herein.
Die Modellierungsmöglichkeiten sind im Prinzip unbegrenzt - Man kann mehrere Blätter eben sehr kreativ miteinander "verkleben" und "verdrillen".
In der Regel konzentriert man sich aber auf die o.g. fünf Grundtypen.
Es gibt daneben nur zwei nichteuklidische 2-Mannigfaltigkeiten (konstanter Krümmung):
a. die positiv gekrümmte 2-Sphere (Kugeloberfläche - Die Sphere ist unberandet und geschlossen).
b. der negativ gekrümmte 2-Hyperboloid (Sattelfläche, "Kühlturm" - Der Hyperboloid ist nicht kompakt)
(Zur Vertiefung der topologischen Begrifflichkeiten bitte einmal
http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A...8Mathematik%29 wenigstens kurz überfliegen)
Damit wären wir mit den sieben 2-Mannigfaltigkeiten, mit denen man sich "üblicherweise" beschäftigt, durch.
Zitat:
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Zitat von Marco Polo
Momentan blicke ich es noch nicht so recht.
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Wenn ich mir deine Rückfrage ansehe "blickst du es genau richtig".
@amc: Treffer!
Ich möchte das Thema aber im Moment "aus anderen Gründen" erst noch einmal zurückstellen - Ich hoffe du hast dafür Verständnis: Aufgeschoben ist nicht aufgehoben.
Schauen wir einmal wann ich etwas zum Ein-/Umstieg in/auf die 3-Mannigfaltigkeiten schreiben kann ... vorausgesetzt ihr habt akut keine weiteren Fragen zu den 2-Mannigfaltigkeiten.
wkr
Marcus