Hallo amc,
sehr gut! :-)
ein endlich langer Zylinder ist eine berandete Mannigfaltigkeit - ebenso ein endlich "breites" Möbiusband.
Aus
http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biusband:
Zitat:
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Ein Möbiusband, Möbiusschleife oder Möbius’sches Band ist eine zweidimensionale Struktur in der Topologie, die nur eine Kante und eine Fläche hat. Sie ist nicht orientierbar, das heißt, man kann nicht zwischen unten und oben oder zwischen innen und außen unterscheiden.
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Kante = Rand.
Eugene Starostin und Gert van der Heijden analysierten das Möbiusband mathematisch mit den Mitteln des variationellen Bikomplex näher (
http://www.nature.com/nmat/journal/v.../nmat1929.html,
http://www.ucl.ac.uk/~ucesgvd/pamm.pdf).
(Ein) Resultat:
Das Verhältnis aus Länge und Breite des mit sich selbst zu verklebenden und zu verdrillenden Ausgangsstreifens muss >= sqrt(3) - Sonst lassen sich die beiden Enden nicht zusammenfügen (Das kann jeder selbst ausprobieren indem er z.B. einmal versucht die Längsseiten eines hochkant vor ihm liegenden DIN-A4-Blattes verdrillt miteinander zu verkleben).
Den "Grenzwert" bildet ein Streifen der drei scharfe Knicke aufweist und das gesamte Möbiusband (flachgepresst) die Form eines gleichseitigen Dreiecks annimmt (Siehe ucl.ac.uk-Link, p. 2, fig. 3c).
Conclusio: Es kann kein unendlich "breites" Möbiusband geben.
Damit hast du meine Aussage widerlegt, amc:
Zitat:
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Zitat von Marcus Ulpius
Wie die Ausführungen hier zeigen: Das Möbiusband muss nicht berandet sein - Mehr noch: Es ist es nicht einmal "üblicherweise".
Meine eingestreute "falsche Feststellung" diente mir einer "kleinen Überprüfung".
Es beweist gleichzeitig: Man sollte jeder Aussage grundsätzlich misstrauisch gegenüberstehen.
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:-)
Zitat:
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Zitat von amc
Es ist nicht die Folie, die du meintest,
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Die Folie, die ich hier meinte, wurde noch nicht genannt - Auch nicht von mir.
Zu deinen anderen grundsätzlichen Fragestellungen "Rand" empfehle ich das Studium diverser Lehrbücher zur Topologie (siehe z.B. wikipedia) - Das führt ansonsten hier zu weit (zumindest mir): Es sollte an dieser Stelle genügen dass man in der Relativitätstheorie sich "üblicherweise" mit unberandeten Mannigfaltigkeiten beschäftigt - Denn einen "Rand" bekommen diese dann später schon von ganz alleine. ;-)
Zitat:
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Zitat von Timm
ich habe mir die Präsentation von Vanderbilt jetzt auch mal angesehen und finde sie recht instruktiv, die positiv gekrümmte Sphäre als Beispiel für lokal euklidische Geometrie allerdings irreführend.
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Lies bitte zum Vergleich den ersten Satz im ersten von amc Link (dort ganz oben!), Timm.
wkr
Marcus