30.01.19, 23:03
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Aufsteiger
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AW: Superposition
Zitat:
Zitat von TomS
Dazu
liefere ich gleich noch eine Berechnung nach ...
... Wir betrachten einen Zustand
|ψ> = ψ₁ |1> + ψ₂ |2>
und untersuchen, ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit wir ihn in einem Ensemble finden.
Dazu betrachten wir den Projektor
P = |ψ><ψ| = (ψ₁|1> + ψ₂|2>) (<1|ψ₁ + <2|ψ₂) = ψ₁² P₁ + ψ₂² P₂ + Interferenzterme
A) Zunächst untersuchen wir ein gemischtes Ensemble, bestehend aus Teilchen entweder im Zustand |1> oder |2> mittels des Dichteoperators
ρ = a₁ P₁ + a₂ P₂ = a₁ |1><1| + a₂ |2><2|
P₁ = |1><1|
P₂ = |2><2|
In ρ stehen a₁, a₂ für klassische Wahrscheinlichkeit.
Wegen
tr(ρ) = a₁ + a₂ = 1
folgt unmittelbar
tr(ρ²) = a₁² + a₂² < 1
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem gemischten Ensemble ρ zu finden, lautet
p(ψ) = tr(Pρ) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂
B) Nun untersuchen wir ein reines Ensemble, bestehend ausschließlich aus Teilchen im Superpositionszustand |ψ> = α₁|1> + α₂|2> mit dem Dichteoperator
ρ = (α₁|1> + α₂|2>) (<1|α₁ + <2|α₂) = α₁² P₁ + α₂² P₂ + Interferenzterme
Man erkennt, dass der Unterschied zwischen dem reinen Zustand oben und dem gemischten Zustand hier gerade in den Interferenztermen steckt.
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem reinen Ensemble ρ zu finden, lautet
p(ψ) = tr(Pρ) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂²
(dabei sind sämtliche ψ’s und α’s eigtl. komplex und ich müsste diverse |...| und * sowie c.c. schreiben, aber dann wird das hier ohne LaTeX zu kompliziert; deswegen beschränke ich mich auf reelle Amplituden).
Experimentell: Misst man an diesen beiden Ensembles die Häufigkeit, jeweils den Zustand |ψ> zu finden, so hängt das Ergebnis offenbar von der Superposition von |ψ> bzgl. der Basis |1>, |2> ab, ausgedrückt durch die Amplituden ψ₁, ψ₂. Außerdem hängt das Ergebnis davon ab, ob das Ensemble in einem reinen oder einem gemischten Zustand vorliegt; der Unterschied steckt im wesentlichen im Interferenzterm. Wählt man nun
a₁ = a₂ = α₁² = α₂² = ½
so hat man im Falle von (A) bzw. (B) einen gemischten bzw. einen reinen Zustand, in dem zunächst beide Anteile mit jeweils ½ gleich vertreten sind. Für die Wahrscheinlichkeiten folgt
p(ψ,gemischt) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂ = ½ (ψ₁² + ψ₂²) = ½
p(ψ,rein) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂² = ½ (ψ₁² + ψ₂²) + ½ ψ₁ψ₂ = ½ (1 + ψ₁ψ₂)
Wenn also ψ₁ und ψ₂ beide ungleich Null sind, dann folgen im reinen Ensemble explizit andere Häufigkeiten für das Auffinden des Zustandes |ψ> als im gemischten. Anders ausgedrückt, durch Wahl der Basis |ψ> bzgl. der die Teilchen in den Ensembles gemessen werden, kann man unterscheiden, ob das jeweilige Ensemble in einem reinen oder einem gemischten Zustand vorliegt.
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Ok, überzeugt. Ich denke, das ist die (lange gesuchte) Antwort.
Allerdings habe ich noch ein paar Verständnisfragen.
Ge?ndert von it77 (31.01.19 um 08:41 Uhr)
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