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Zitat von Plankton
Dieser Auffassung hat kurze Zeit später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz den Boden entzogen.
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Hm? Der Unvollständigkeitssatz sagt doch nur, dass es in hinreichend mächtigen Axiomensystemen, immer mindestens einen Satz gibt, der weder beweisbar noch widerlegbar ist?
Anders ausgedrückt sind solche Systeme also immer in gewisser Weise erweiterbar und das zeigt sich dann ja auch in der Praxis, indem auch heute noch immer wieder neue Disziplinen erfunden, bzw. definiert werden.
Das heißt auch nicht, dass Axiomensysteme hinfällig wären. Im Gegenteil: Jede grundlegende Mathe-Vorlesung läuft doch immer nach dem gleichen Schema ab: Definition(en) - Satz - Beweis, Definition(en) - Satz - Beweis, etc. In den höheren Semestern werden die Beweise nur länger. Die prinzipielle Vorgehensweise bleibt aber unverändert.
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Ist der Ansatz von Hilbert damit, eigentlich als "gescheitert" zu betrachten?
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Demnach also Nein.
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Gibt es neue Impulse, Mathematik als Formalismus zu verstehen?
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Die reine abstrakte Mathematik würde ich mal ganz naiv als Formalismus bezeichnen, ohne jedoch entsprechende Gegenentwürfe zu kennen. Muss oder Soll man die Frage im Kontext bestimmter Literatur lesen?