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Alt 01.06.21, 08:33
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Mathematik - haben wir sie erfunden oder entdeckt?

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Zunächst wollte Hilbert nicht alles beweisen, er wollte lediglich alle im Rahmen eines Axiomensystem wahren Sätze beweisen. Und Gödel zeigte, dass dies nicht möglich ist, d.h. dass Aussagen im Rahmen und über ein Axiomensystem existieren, die zwar wahr jedoch nicht mittels der gegebenen Axiome beweisbar sind.
Thx for that.
Dann müsste man das mal auf Wiki dementsprechened korrigieren...
Es besteht die Meinung dort (so zumindest habe ich das verstanden), dass, wenn man mit Hilfe eines Axiomensystems ein Mathematisches Problem formulieren kann, es auch in diesem Axiomensystem beweisbar ist. Das muss aber nicht der Fall sein.
Man kann mit den Natürlichen Zahlen |N den Grossen Satz von Fermat formulieren, z.B. für n=3
|N -> |N (sprich |N wird abgebildet auf |N) für
a³ + b³ = c³ mit a,b,c element |N
und dann nach der Existenz von c³ fragen.

Wiles hat bewiesen, dass der Grosse Satz von Fermat wahr ist. Der Beweis geht aber über die nicht teilerfremden Zahlen |R, die aber nicht gleichmächtig zu |N sind.

Andere prominente Beispiele für Dinge, die man zwar mathematisch formulieren kann, für die es jedoch nicht unbedingt eine Lösung geben muss, sind z.B. das Rucksackproblem oder der Handlungsreisende, also das P NP - Problem

Zitat:
Das hat jedoch wenig mit der Frage zu tun, ob der Satz des Pythagoras “erst vom Baum der Erkenntnis gepflückt werden muss, um zu existieren”, oder ob er “bereits vorher unerkannt existierte”. Hilberts Programm und Gödels Arbeiten dazu helfen nicht weiter. Statt dies anhand des Satzes von Pythagoras zu diskutieren, könnte man sich diese Frage auch bzgl. Gödels Satz stellen. Natürlich kann man Axiomensysteme, Arithmetik und Theoreme als Menschenwerk betrachten, und damit auch speziell Gödels Satz. Umgekehrt kann man dies alles auch prä-existente platonische Welt außerhalb von Raum und Zeit sowie unabhängig von Menschen ansehen.
Seh das wie Timm. Also, die Mathematik ist unabhängig von (allg.) Wesen, wobei unabhänging hier äquivalent zu "relativ widerspruchsfrei" gebraucht wird, analog der relativen Widerspruchsfreiheit der ZFC-Mengenlehre zur Kontinuumshypotese, vgl:

Zitat:
Das Problem ist heute gelöst, wenn auch nicht in dem Sinne, wie die Mathematiker dies erwartet hatten:

Kurt Gödel bewies 1938,[3] dass die Kontinuumshypothese (CH) zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) relativ widerspruchsfrei ist, das heißt, wenn ZFC widerspruchsfrei ist, was allgemein angenommen wird, aber nach dem gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht mit Hilfe von ZFC bewiesen werden kann, dann ist auch „ZFC + CH“ widerspruchsfrei. Dazu hatte Gödel innerhalb der ZFC-Mengenlehre die Teilklasse L der sogenannten konstruierbaren Mengen untersucht und konnte zeigen, dass in L L ebenfalls alle Axiome der Mengenlehre gelten, aber darüber hinaus auch die Kontinuumshypothese erfüllt ist. Das bedeutet:

Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht widerlegen.

In den 1960er Jahren zeigte Paul Cohen mit Hilfe der Forcing-Methode:

Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht beweisen.

Anders ausgedrückt: Auch die Negation der Kontinuumshypothese ist zu ZFC relativ widerspruchsfrei; die Kontinuumshypothese ist also insgesamt unabhängig von ZFC. Für diesen Beweis erhielt Cohen 1966 die Fields-Medaille.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

Zitat:
Beide Sichtweisen - dass wir die Wahrheit von Gödels Satz entdecken oder dass wir Gödels Satz lediglich selbst konstruieren - sind m.E. beide mit eben diesem Satz verträglich.
Seh ich auch so
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