B. Mathematische Hilfsmittel für die Aufstellung allgemein kovarianter Gleichungen.
Nachdem wir im vorigen gesehen haben, daß das allgemeine Relativitätspostulat zu der Forderung führt, daß die Gleichungssysteme der Physik beliebigen Substitutionen der Koordinaten x
1 .... z
4 gegenüber kovariant sein müssen, haben wir zu überlegen, wie derartige allgemein kovariante Gleichungen gewonnen werden können. Dieser rein mathematischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich dabei zeigen, daS bei deren Lösung die in Gleichung (3) angegebene Invariante ds eine fundamentale Rolle spielt, welche wir in Anlehnung an die Gausssche Flächentheorie als "Linienelement" bezeichnet haben.
Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheorie ist folgender. Es seien gewisse Dinge ("Tensoren") mit Bezug auf jedes Koordinatensystem definiert durch eine Anzahl Raumfunktionen, welche die "Komponenten" des Tensors genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen diese Komponenten für ein neues Koordinatensystem berechnet werden, wenn sie für das ursprüngliche System bekannt sind, und wenn die beide Systeme verknüpfende Transformation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, daB die Transformationsgleichungen für ihre Komponenten linear und homogen sind. Demnach verschwinden samtliche Komponenten im neuen System, wenn sie im ursprünglichen System sämtlich verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Nullsetzen aller Komponenten eines Tensors formuliert, so ist es allgemein kovariant; indem wir die Bildungsgesetze der Tensoren untersuchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung allgemein kovarianter Gesetze.
§ 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor.
Kontravarianter Vierervektor.
Das Linienelement ist definiert durch die vier "Komponenten" dx
v, deren Transformationsgesetz durch die Gleichung
(5)
ausgedrückt wird. Die dx
σ' drücken sich linear und homogen durch die dx
v aus; wir können die Koordinatendifferentiale dx
v daher als die Komponenten eines "Tensors" ansehen, den wir speziell als kontravarianten Vierervektor bezeichnen. Jedes Ding, was bezüglich des Koordinatensystems durch vier Größen
definiert ist, die sich nach demselben Gesetz
(5a)
transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, daß die Summen (
) ebenfalls Komponenten eines Vierervektors sind, wenn
und
es sind. Entsprechendes gilt für alle später als "Tensoren" einzuführenden Systeme (Regel von der Addition und Subtraktion der Tensoren).