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Alt 07.10.09, 21:29
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Bauhof
Vielen Dank fuer die Quellenangabe. Ein Buch ueber Erdoes steht bei mir im Regal. Wohl zu lange her, dass ich das gelesen habe.

Zitat:
ja, die harmonische Reihe
(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...
divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte
2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist.
Ja, da hast du recht. Das ist natuerlich kein Beweis. Aber fuer mich ist es wenigstens eine Art Plausibilisierung.
Zitat:
Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.
Dann kann man wohl nicht erwarten, das der Beweis einfach ist
Selbiges trifft dann auch fuer Timms Frage zu. Meine Naeherung ueber C*x*ln(x) waere auch nur eine qualitative Abschaetzung.
Da nun aber bekannt ist dass die Summe der Primzalkehrwerte divergiert, koennte man das Majorantenkriterium verwenden.( Falls meine Vorgehensweise ueberhaupt korrekt ist das Produkt ueber den ln in eine Summe zu transformieren und dann zu argumentieren, dass wenn diese Summe divergiert auch das Produkt divergiert. )

Ich hab mir das nur mal kurz graphisch mit der Naeherung ln[(C*x*ln(x)-1)/(C*x*ln(x)-2)] angeschaut. Die scheint fuer alle C groesser zu sein als 1/(C*x*ln(x)) Wobei beide Funktionen fuer groessere Werte "fast gleich" sind. (Warum eigentlich ?) Korrekterweise muesste man dies statt C*x*ln(x) fuer die Primzahlen zeigen. Und dann waere Timms Produkt divergent.
Ich vermute jetzt doch eher, dass es divergent ist.
Zitat:
Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.
Daran kann ich mich noch erinnern. Glaube es war der mathematisch Co Prozessor. Ich habe damals HP Workstations benutzt :-)
Zitat:
Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt
Dewegen ist das auch ein beliebtes Thema fuer Hobbyforscher.
Ich bin davon aber nicht infiziert.
Zitat:
Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben.
Tja, das waere zu schoen gewesen :-)

Zitat:
Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Fuer Konvergez mussen die Summanden nur schnell genug gegen Null streben. Sie werden also immer seltener.

Ge?ndert von richy (08.10.09 um 08:38 Uhr)
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