Hi Lambert
Bevor man diesen Effekt hier versteht
http://de.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm-Effekt
(ich verstehe ihn nicht) muss man erstmal verstehen was ein Vektorpotential ist :
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorpotential
Und um diese Seite zu verstehen muss man erstmal wissen, was denn mit diesen ganzen Operatorsymbolen gemeint ist. Und dazu traegt auch bei, dass man wenigstens weiss wie diese gebildet werden. Und auch in etwa interpretieren kann. Das hab ich zunaechst versucht.
rot ist leider am unuebersichtlichsten zu bilden.
(Nicht zu verwechseln mit Rot, der Sprungrotation)
Und auf der Seite zum Vektorpotetial stehen auch Gleichungen, Zusammenhaenge, die man nur verstehen kannm wenn man weiss, dass es zwischen diesen Operatoren mathematische Zusammenhaenge gibt. Folgenen Link finde ich daher besonders hilfreich :
http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
Von der Seite dort will ich noch einen Screenshot machen, denn diese Aequivalenzen sind eines der maechtigsten Hilfsmittel die uns zur Verfuegung stehen. Das ist geballte Mathematik konzentriert auf operationelle Zusammenhaenge :
Alleine mit dieser Seite kann jeder! in einigen Minuten aus den Maxwellgleichungen die (Wellen) Telegraphengleichung der Elektrodynamik herleiten. Man sollte sich diese Tabelle eigentlich uebers Bett haengen :-)
Rot rot ist grad div minus Laplace zum Sprachumfang gehoeren.
Bevor man sich mit Wirbelfelder und Vektorpotentialen befasst sollte man zudem erstmal skalare Potentiale betrachten :
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/eich/node1.html
Das ist schwierig genug.
Und ich wuerde zunaechst noch einen Schritt zurueckschrauben.
Denn unter B und E Feld kann man sich im Grunde nicht wirklich viel vorstellen.
Zu den Maxwellgleichungen gibt es ein sehr anschauliches klassisches
Analogon. Das sind die Grundgleichungen der Akustik. Diese werden aber meist nicht ueber rot,div,grad formuliert. Ein formeller Unterschied besteht darin, dass in der E-Dynamik zwei verktorielle Feldgroessen vorhommen. B und E. In der Akustik eine vektorielle und eine skalare. Schnelle v und Wechseldichte rho
Darauf basiert auch der longitudinale und transversale Charakter.
Kaum jemand praktiziert dies, aber die akustischen Grundgleichungen lassen sich ebenfalls operationell ueber rot,grad,div darstellen.
Als Maxwellgleichungen der linearen Akustik.
div(p)=-Rho0*dv/dt
rot(v)=0
grad(v)=-1/Rho0*drho/dt
p=c^2*rho
(c=Schallgeschwindigkeit)
Damit laesst sich ebenfalls rein formell sehr schnell die akustische Wellengleichung herleiten. Und ebenso laesst sich diese einfacher loesen wenn man ein skalares Potential, das Geschwindigkeitspotential verwendet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Geschwindigkeitspotential φ
Zitat:
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Das Geschwindigkeitspotential φ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen in der Fluiddynamik ein. Damit vereinfachen sich die Rechnungen und außerdem gewinnt man ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential in der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen Potential, bzw. dem Gravitationspotential.
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In der Akustik gilt dann v=-grad(φ)
Dies erfuellt die Wirbelfreiheit rot(v)=0, denn wie Bett-Tabelle zeigt gilt immer rot(grad(φ))=0
mit :
φ=1/rho0*Integral p(t) dtau
p(t) ist mit der betrachteten Feldgroesse rho ueber eine Zustandsgleichung verknuepft.
Anmerkung zur Zustandsgleichung :
Allgemein laesst sich diese aus der Stroemungsmechanik herleiten
sowie dem 1.ten Hauptsatz der Thermodynamik der spezifischen inneren Energie e einer Fluessigkeit sowie der spezifischen Entropie s.
p=rho^2*(de/drho)|s =p(rho,s)
Praktisch verwendet man in der nichtlinearen Akusik eine Taylorentwicklung z.B 2.ter Ordnung mit empirisch ermittelten Koeffizienten.
p=c^2*rho+c^2/Rh0*5/2*rho^2
Aus dem Geschwindigkeitspotential lassen sich somit beide akustischen Feldgroessen ermitteln.
v ueber Gradientenbildung
rho ueber die Zustandsgleichung
Das Prinzip ist somit :
Man nimmt eine uebergeordnete Potentialgroesse φ an und loest fuer diese die PDE, statt fuer die einzelnen Feldgroessen. Diese leitet man aus der Loesung ab.
Ich denke es ist eine ganz gute Uebung erstmal die linearen akustischen Grundgleichungen auf diese Weise durchzurechnen bevor man die Maxwellgleichungen oder gar diesen Bohm Effekt betrachtet.
Ist der Schnelle Gradient alleine ein mathematisches Hilfsmittel ?
Ich meine man kann sich schon etwas darunter vorstellen.
Bei der Rotation ist dies schon weitaus schwieriger.
ciao