Zitat:
Zitat von physicus
Im Moment fürchte ich, stecke ich an dieser Stelle hier ein bisschen fest. Diagramme zeichnen, hilft mir bzgl. der Anschauung der ganzen Sache nicht wirklich weiter.
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Ich beschreibe es mal ohne Diagramm.
Im Bahnsteigsystem BS hast Du zwei Ereignisse.
Der vordere Zugteil unterbricht die Lichtschranke. Ich nenne das P1.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gebe ich diesem Punkt die Werte t = 0 und x = 0.
Nach einer gewissen Zeit t_m passiert der hintere Zugteil die Lichtschranke am gleichen Ort, d.h. ebenfalls bei x=0. Dieses zweite Ereignis nenne ich P2.
Der Beobachter im ungestrichenen System BS errechnet die Länge s des Zuges gemäß s = v * t_m.
Was beobachtet nun der Schaffner im Zugsystem ZS mit den gestrichenen Koordinaten x' und t'?
Er sieht eine Lichtschranke auf sich zukommen. Diese wird beim Kontakt mit dem vorderen Zugteil geöffnet (P1') und beim Kontakt mit dem hinteren Zugteil geschlossen (P2').
Auch er berechnet die Länge des Zuges gemäß s' = v * t_m'.
Wie die Koordinaten zusammenhängen entnimmt man der Lorentztransformation.
Bei P1 gilt:
x = 0
t = 0.
Also folgt für P1':
x'=0
t'=0.
Bei P2 gilt:
x = 0
t = t_m.
Also folgt für P2':
x' = -gamma * v * t_m
t' = gamma * t_m.
Es gilt damit:
s' = -x' = v * t' = v * gamma * t_m = gamma * v * t_m = gamma * s
oder:
s' = gamma * s
oder
s = s' * sqrt(1-beta²)
s' ist die im Zugsystem gemessene Länge und s ist die im Bahnsteigsystem gemessene Länge.
q.e.d.