[richy]

Hat niemand Interesse ?

Mich hat Struktrons vorgestellte thermodynamische Interpretation nochmals auf folgende Ueberlegung gefuehrt.
Im Thread Verhulst hatte ich ein Experiment vorgestellt, dass den Informationsverlust bei einer quadratischen Iteration belegt. f(k+1)=H(f(k)^2,f(k))
Diese Funktion ist eindeutig, da der quadratische Term bei den vergangenen Werten auftaucht.Lediglich die Umkehrfunktion ist mehrdeutig und fuehrt zu dem beschriebenen Informationsverlust. Fuer solch ein System waere die Zukunft eindeutig determiniert jedoch die Vergangenheit nicht. Man kann ganz grob sagen : Liegt eine quadratische Nichtlinearitaet vor, so ist die Vergangenheit nicht determiniert.

In der physikalische Umwelt empfinden wir jedoch umgekehrt die Vergangenheit als determiniert und die Zukunft als offen, mehrdeutig. Wir muessten die Umkehrfunktion betrachten und dazu hatte ich schon einige Beispiele vorgestellt, die z.B. zu Juliamengen fuehren. Aus der expliziten Ausgangsgleichung wird dann eine implizite Gleichung.
H(f(k+1)^2,f(k+1))=f(k)
In dem Fall tritt im exliziten Ausdruck dann ein bijektiver Wurzelterm auf.
Man kann grob sagen. Liegt ein Wurzelausdruck vor aufgrund einer impliziten Gleichung vor, so ist die Zukunft nicht determiniert.

Nun erscheint und aber auch die Vergangenheit anders als die Realitaet. Wir vergessen Systemzustaende und dies bedeutet einen Informationsverlust. Aufgrund dieser Motivation oder einfach rein interessehalber kann man sich die Aufgabe stellen, ob es Funktionen gibt, die in beiden Richtungen mehrdeutig sind.

Aufgabe :
Geben sie eine bijektive Funktion an, deren Umkehrfunktion ebenfalls bijektiv ist. Klingt kompliziert aber es gibt eine ganz einfache Loesung :

y^2=t^2
anders angeschrieben :
y=+-t

Graphisch stellt dies ein einfaches Kreuz "X" dar. Und klar dese Funktion ist lediglich in einem Punkt t=0 eindeutig. Bemerkenswert ist dabei, dass sich die Nichtlinearitaet "kompensieren" und lediglich eine Folge derselben, die Bijektivitaet erhalten beliebt.
Den Punkt t=0, an dem sich die Funktion in beiden Richtungen verzweigt koennte man als Gegenwart, Realitaet interpretieren. Aber hier gibt es nur einen solchen ausgezeichneten Punkt.
Man kann weitere Funktionen desselben Typs konstruieren, aber daran aendert sich wenig :

a*(y-y0)^2 + b*(t-t0)^2 = R^2
*************************

Diese Funtionen kennt man. So ist auch ein Kreis sogar in jedem Punkt bijektiv. Es existiert daher kein Realitaetspunkt.

Kann man eine Funktion konstruieren die fuer mehr als einen Punkt eindeutig ist (mehrere Realitaetspunkte) und ansonsten mehrdeutig ?
Es erscheint zunaechst unmoeglich, aber das geht. Dazu waehlt man zunachst eine beliebige nichtlineare Funktion F(). Deren Umkehrfunktion sei G(). Folgender Funktionentyp kann dann die Forderung erfuellen wenn F() periodisch ist :

EDIT

F(v(y))=h(t)*F(v(t))
statt
G(v(y))=h(t)*G(v(t))

Gruesse