Zitat:
Zitat von TomS
Auch wenn die Kugeloberfläche in diesem Grenzfall geometrisch euklidisch wird, wird sie nicht topologisch identisch zu einer flachen Ebene.
Um das zu verstehen, benötigt man die Topologie, in diesem Fall insbs. die sogenannten Homotopiegruppen.... |
Zweiter vereinfachter Erklärungsansatz:
Im Rahmen einer Grundlagendiskussion erscheint es mir einfacher und lehrreicher zu sein, wenn man in diesem Zusammenhang die Grundlagen der Topologie anspricht. Identisch heißt im Sinne der Topologie homöomorph, siehe
Homöomorphismus
Es gelingt im Fall von Kugeloberfläche und |R^2 (Ebene) nicht eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen zu finden. Es wird in diesem Zusammenhang auch von "Verbiegen" gesprochen. Man kann die Kugel nicht so verbiegen, dass daraus eine Ebene wird, selbst wenn man die Kugel flach presst.
Eine Möglichkeit eine Bijektion zu finden, liegt darin in die Kugel ein Loch zu stanzen. Dann geht es wieder, zB mit der zweiten Karte der
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zahlenkugel.
Ohne den Nordpol ist die stereografische Projektion offensichtlich eine Bijektion. Stetig und umkehrbar stetig sollte sie eigentlich auch sein.