[TomS]

Oben war ein Fehler; hab das korrigiert.


Im Rahmen der ART ist das sehr kompliziert.

Betrachte stattdessen den Klein-Gordon-Hamiltonian

H = ☐ + m²

Er führt offensichtlich nicht auf eine Schrödingergleichung

Hψ = i d/dt ψ

sondern auf

Hψ = 0

D.h. der Hamiltonoperator H entspricht hier nicht dem Energie-Operator!

Nun wünschen wir uns jedoch, dass wir aus

(☐ + m²)ψ = 0

eine Energie herauspräparieren können.

Dazu zerlegen wir ☐ in den Orts- und den Zeitanteil.

Analog zerlegen wir

P² - m² = 0

mit dem Viererimpuls P in Orts- und Zeitanteil

P = (E, p)

mit dem Dreierimpuls p und erhalten

(E² - p²) - m² = 0

Dabei haben wir Koordinaten (t,x) eingeführt, und für diese Koordinaten auch (E,p). Andere Koordinaten (t’,p’) führen auf (E’,p’), wobei diese über eine Lorentz-Transformation zusammenhängen.

Entsprechend können wir nun Operatoren (h,p) und somit

[(h² - p²) - m²] ψ = 0

einführen, d.h.

h² ψ = (p² + m²) ψ

und für diesen Operator h² die Energie-Eigenwerte E².

So lernt man das nicht bei der Einführung der Klein-Gordon-Hamiltonian. Das ganze läuft unter dem Stichwort Dirac Constraint Quantization; habe das nur sehr grob skizziert. Diese Prozedur funktioniert auch für gekrümmte Raumzeiten und andere Felder, d.h. auch für Dirac- und Maxwellsche Gleichungen. Jedenfalls folgt eine unitäre Theorie auf einer gekrümmten Raumzeit sowie ein spezieller Energieoperator h. h kann auch als klassische Hamiltonian verstanden werden und liefert damit einen klassischen kanonischen Energiebegriff - einen von mehreren möglichen in der ART - siehe das Paper. Aber durch diese Prozedur wird keine nicht-Unitarität eingeführt. Letzteres resultiert erst aus Anwesenheit von Horizonten.