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Alt 06.04.19, 09:44
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TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Raumzeit aus Quantenverschränkung

Zur Strategie von Carroll

(1)

Er startet mit einem strukturlosen, hochdimensionalen Hilbertraum, den er als Produkt von (ebenfalls hochdimensionalen) Unterräumen darstellt. „Bereiche“ des Hilbertraumes sind also Unterräume.

Da wir uns mit Quantenmechanik befassen, ist ein physikalischer Zustand nicht ein beliebiger Vektor ψ, sondern die Äquivalenzklasse [ψ] bzgl. der Äquivalenzrelation ~ exp[iφ] für normierte Vektoren ψ. Die physikalischen Zustände [ψ] „leben“ auf der hochdimensionalen Einheitskugel.

Als nächstes definiert Carroll die Entanglement Entropy eines Zustandes. Dies ist kein Maß für die Unordnung des Zustandes! Stattdessen wird für einen Vektor ψ eine Zerlegung in Teilsysteme A(p), A(q) - also Unterräume betrachtet. Die Entanglement-Entropy misst die Verschränkung zwischen p und q für ψ. Im Falle eines separablen Zustandes ist sie Null.

Nun benutzt Carroll die darauf aufbauende Transinformation - englisch Mutual Information - sowie die o.g. Zerlegung, um auf dem Hilbertraum eine Klasse von Graphen zu definieren. Jedem „Bereich“ wird ein Vertex zugeordnet, jeder Kante die Transinformation für beide Bereiche.

Als nächstes betrachtet Carroll eine spezielle Klasse (RC) von Zuständen, für die folgende Näherung zutrifft: man definiere einen Bereich B, der viele A(p) ... umfasst, sowie das Komplement zu B, das entsprechende A(q) ... umfasst; die Entanglement-Entropy B resultiere dann alleine aus den Kanten zwischen B und dem Komplement von B.

Die Betrachtung gerade dieser Zustände motiviert Carroll über das „Area Law“, letztlich als eine Art holographisches Prinzip bzw. einer Modifikation nach Bousso.

Das Vorliegen eines derartigen Zustandes wird im folgenden vorausgesetzt! Carroll gibt bis auf weiteres keine dynamische Begründung für einen derartigen Zustand an. Er motiviert dies jedoch wie folgt: in der Quantenfeldtheorie fallen Korrelationsfunktionen zwischen jeweils näherungsweise räumlich lokalisierten Zuständen als Funktion des Abstandes ab. Offensichtlich existieren näherungsweise räumlich lokalisierte Zustände. Statt nun die Korrelationsfunktionen als Funktion des Abstandes zu verstehen, kann man einfach die Korrelationsfunktion zweier allgemeiner Zustände ohne Einführung eines Abstandsbegriffs berechnen, und findet - unter der Voraussetzung der näherungsweise räumlichen Lokalisierung - eine Funktion des Abstandes. Man geht also gewissermaßen einen Schritt zurück.

Im folgenden betrachtet Carroll dann die Formulierung eines Abstandsbegriffs, unter der Voraussetzung des Vorliegens eines RC-Zustandes. Letztlich bedeutet dies, dass man im Falle spezieller Zustände eine zunächst generische Funktion auf dem Hilbertraum mit einem Abstandsbegriff assoziieren kann. Umgekehrt werden allgemeine Zustände existieren, für die diese Assoziation nicht zutrifft.

Carroll sieht da diverse offene Fragen - ich ebenfalls. Z.B. würde ich erwarten, dass der Abstandsbegriff dann nicht mehr sinnvoll ist, wenn ich ein Quantensystem ungeeignet zerlege, wenn also die o.g. RC-Annahmen nicht zutrifft. Ich würde erwarten, dass dies z.B. für ein Proton zutrifft. Andererseits kann man die Dynamik des Protons sehr präzise mittels der QCD berechnen, und diese verwendet natürlich einen Abstandsbegriff, der für deutlich kleinere Skalen als die Ausdehnung eines Protons gültig bleibt ...

to be continued ...
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«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Geändert von TomS (06.04.19 um 10:30 Uhr)
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