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Alt 04.10.09, 10:33
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richy richy ist offline
Singularität
 
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Standard Math - Polya und Primzahlen

Hi
Im Thread "Wasserwellen..." hat Timm auf interessante Aspekte zum Thema Primzahlzwillinge, "n-linge" von Polya und Lehmer aufmerksam gemacht. Ich wuerde die Diskusion an dieser Stelle gerne weiterfuehren.
Ich hoffe Timm hat nichts dagegen wenn ich den Gegenstand derselben, den Timm mir per PN gesendet hat, hier zitiere :

Zitat:
Zitat von Prof. Oskar Herrmann
Sei X eine "große" Schranke, n eine eine ganze Zahl mit 0<n<X. d eine "kleine" ganze Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, daß n oder n+d durch p teilbar ist, ist jeweils 1/p. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine dieser beiden Zahlen durch p teilbar ist,

2/p, falls p die Differenz nicht teilt.
bzw. 1/p, falls p die Differenz teilt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß p keine der beiden Zahlen teilt ist also

(p-2)/p bzw. (p-1)/p.

Wir definieren:

W(p,D) = (p-2)/p, falls p kein Teiler von D ist.
W(p,D) = (p-1)/p, falls p ein Teiler von D ist.

Diese Überlegung stellen wir für alle Primzahlen
{2, 3, 5, 7, ..., P}
an. Haben wir nur wenige Primzahlen, dann ist dieWahrscheinlichkeit, daß n und n+D durch keine unsererPrimzahlen teilbar ist, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.

Das bedeutet: Die Anzahl der Paare (n, n+D), wo keine Zahl durch eine "kleine" Primzahl teilbar ist, ist

W(2,D)*W(3,D)* ... *W(P,D) * X

Hier sehen wir, daß D eine gerade Zahl sein muß, sonst erhalten wir ein triviales Resultat.

Bis zu dieser Stelle war alles korrekt beweisbar.

Wir interessieren uns nun für Primzahlzwillinge mit der Differenz D.Bei festem P und wachsendem X wächst obige Funktion linear an,Sie ergibt also ein Resultat, das größer ist als die Anzahl derZwillinge. Bei festem X und wachsendem P, wenn wir alsoimmer mehr Primzahlen nehmen, konvergiert das Produkt gegen Null.Wir erhalten also ein zu kleines Resultat, wenn wir zuviele Faktorenhaben. Das bedeutet, daß bei richtiger Kopplung von P und X man dieAnzahl der Primzahlzwillinge mit der Differenz D erhält.

Es ist aber nicht bewiesen, wie man P und X zu koppeln hat.(Hier gibt es eine Vermutung, auf die ich nicht eingehe.)

Nun machte Polya den folgenden Vorschlag: Diese Schranke, die ja auch vonD abhängig sei kann, versuchsweise als von D unabhängig anzunehmen.Er dividierte die vermutete Anzahl der Primzahlzwillinge mitDifferenz D durch die vermutete Anzahl der Zwillinge mit derDifferenz 2. Dabei kann man durch X kürzen und erhält

W(2,D)*W(3,D)*W(5,D)*...*W(P,D)
W(2,2)*W(3,2)*W(5,2)*...*W(P,2)

Da D gerade ist, ist W(2,D)=W(2,2)=1. Aber für fast alle Primzahlenist W(p,D)=W(2,D)=(1-2/p). Damit können übereinanderstehende Faktoren weggekurzt werden und es bleiben die Quotienten stehen,wo p ein Teiler von D ist.

Das Resultat ist das Produkt der Quotienten

(p-1)/p-2)

wo p ein ungerader Teiler von D ist.

Das ergibt folgende Häufigkeiten:

D 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Häufigkeit
1.00 1.00 2.00 1.00 1.33 2.00 1.20 1.00 2.00
Timm hat dazu folgende Ergebnisse aus numerischen Expermenten erhalten :
Zitat:
Am häufigsten sind Primzahl-Paare, deren Differenzen Primfakultäten sind. Differenzen D, die nur den Primfaktor 2 enthalten, 2^n mit n=1,2,3 ... , sind vergleichsweise selten aber alle gleich häufig und dienen als Basis zur Bestimmung der Häufigkeit H. Findet man x Paare mit D=2, so enthält die gleiche Primzahlenmenge 2,66*x Paare mit D=30, 3,2*x Paare mit D=210 ... . Die Häufigkeit H von D=30 ergibt sich also als Zahl der Paare mit D=30 geteilt durch Zahl der Paare mit D=2. H der Differenz 30 ist somit = 2,66.

Theoretische Häufigkeit der Superdifferenz SD=210 mit (p-1)/(p-2): Für p=3, 5, 7 erhält man 2, 4/3, 6/5. Das Produkt der Quotienten (p-1)/p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2. Die Superhäufigkeit SH der SD 210 (= 2*3*5*7) ist also 3,2. Jede Differenz enthält natürlich den Primfaktor 2. In H, bzw. SH geht die 2 aber nicht ein, da sie Vergleichsbasis ist. Anders gesagt ist H von D=2 trivialerweise =1.

Vergleich gefundener mit theoretischen Häufigkeiten
Herangezogen wurden alle Primzahlpaare der ersten 10^5 Primzahlen und mit einem kleinen Programm die Zahl Z der Paare pro Differenz D ermittelt.

....................gefunden.................theor etisch nach (p-1)/(p-2)
D ......... Z ......... H=Z/10250......... H ......... Primfaktoren
2 ......... 10250 ..... 1 .................... 1 .......... 2
4 ......... 10214 ..... 0,996 .............. 1 ........ 2*2
6=SD ... 20472 ..... 1,997=SH ....... 2 .........2*3
8 ......... 10336 ..... 1,008 ............... 1 ..... 2*2*2
.
18 ....... 20515 ..... 2,001 .............. 2 ...... 2*3*3
20 ....... 13687 ..... 1,335 ............ 1.33 ... 2*2*5
.
28 ....... 12253 ..... 1,195 ............. 1,2 ..... 2*2*7
30=SD.. 27434 ..... 2,676=SH ..... 2,66 ... 2*3*5
60 ....... 27312 ..... 2,664 ............ 2,66 .. 2*2*3*5
.
210=SD ............... 3,192=SH ..... 3,2 .... 2*3*5*7
2310=SD ............. 3,543=SH ..... 3,55 .. 2*3*5*7*11

Die Übereinstimmung H gefunden / H theoretisch ist erstaunlich.
Verglichen mit den SD erkennt man eine starke Abflachung der SH. Dennoch könnten, wie schon beschrieben, die SH gegen unendlich gehen.

Ge?ndert von Timm (04.10.09 um 13:29 Uhr)
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