Hi Bauhof, Timm, all
Doch, du hast dich irgendwo vertippt.
Zitat:
|
Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt.
|
Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben
Zitat:
|
Zitat von Bauhof
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
|
Hauptsache wir reden nicht aneinander vorbei
Zitat:
|
Gibt es dazu eine Quelle?
|
Es gibt eine grosse Datenbank fuer Zahlenreihen OEIS
http://de.wikipedia.org/wiki/On-Line...eger_Sequences
Dort habe ich die Summe der Kehrwerte der Primorials gefunden, aber nicht die der Fakultaet der Primzahlen. Scheint tatsaechlich zu fehlen
Hier wenigstens die Reihe der einfachen Fakultaet der Primzahlen :
http://www.research.att.com/~njas/se...erman&go=Suche
(Die Primzahlen als Kettenbruchkoeffizienten gibt es dort auch)
Mit Maple kann man den gesuchten Wert leicht numerisch simulieren.
Die Reihe konvergiert sehr schnell gegen s := 0.6751984380
Die SUmme der Nichtprimzahlkehrwertfakultaeten muesste dann sg:=2.043083390 sein.
Man koennte spasseshalber Taylorreihen von Funktionen in ihre primzahligenund und nichtprimzahligen Reihen zerlegen. Aber Sinn macht das wohl keinen, ansonsten waere schon jemand anderes auf die Idee gekommen.
Hast du eine Quelle fuer die von dir gemeinten divergenten Reihe ?
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
Und damit waeren wir nahe bei der eigentlichen Fragestellung von Timm.
Ich moechte erstmal zusammenfassen ob ich diese richtig verstanden habe :
i=0..N sei die Folge der natuerlichn Zahlen
ifactors(i)=p1,p2,p3...p_anzahl seien die Primfaktoren von i
"anzahl" sei die Anzahl der Primfaktoren von i
Jetzt bestimmt man fuer jeden Primfaktor pk den wert ak=(pk-1)/(pk-2)
k=1..anzahl
Da waere meine erste Frage: Fuer i=2 geht a doch gegen unendlich.
2 wird also ausgeschlossen und H(2) zu 1 normiert ?
Ansonsten berechnet sich H(i) als product(ak,k=1..anz) ?
So hast du es im Beispiel erlaeutert :
Zitat:
|
Das Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2.
|
Die Frage waere dann, ob das Produkt H gegen unendlich strebt oder konvergiert. Der Ausdruck besteht aus zwei Teilen. Der inneren Funktion, die im Intervall [3...OO] monoton vom Wert 2 auf 1 faellt.
Mit jeder neuen Primzahl naehert sich der Bruch dem Wert 1.
Und mit jeder neuen Primzahl wird ein Faktor groesser eins hinzugefuegt. So dass es rein formell klar ist, dass der Wert fuer die Primonials am groessten ist, da sie die meisten Faktoren enthalten. Allerdings ist mir noch immer nicht ganz klar wie Polya auf diesen Ausdruck kommt.
Jetzt koennte man voreilig argumentieren :
Na ich habe unendlich viele Faktoren eines Produkts, denn es gibt unendlich viele Primzahlen und jeder ist groesser 1 kleiner 2.
Das divergiert.
Ich meine aber dem ist nicht so.
Aehnlich wie bei exp(1)=limit( (1+1/n)^n,n=infinity) tritt der entscheidende Vorgang genau beim Grenzuebergang auf.
(1+1/n)^n ist dem Produkt H auch ansonsten recht aehnlich. Der Ausdruck in der Klammer strebt genauso gegen eins und der Exponent erzeugt schliesslich unendlich viele Faktoren.
Aber der Wert konvergiert gegen exp(1)
@timm
Das Problem ist nun, dass wir keinen analytischen Ausdruck dafuer haben. wie der Wert des jeweils neuen Primfaktors waechst. Man koennte sich hier vielleicht dem Primzahlsatz von Gauss bedienen, dass die Verteilung etwa x/ln(x) betraegt. Zunaechst ueberlegen, wie sich dies auf das Wachstum der Primfaktoren auswirkt.
Hier einige Beispiele die ich mit Maple gerechnet habe und die Problematik anschaulich darstellen. Fuer die unbekannte Wachstumsfunktion der Primzahlen habe ich einfach mal einige elementare Funktionen wie 2*p, p^2, p! eingesetzt:
product((p-1)/(p-2),p=3..infinity) = infinity
product((2*p-1)/(2*p-2),p=3..infinity) = infinity
product((10*p-1)/(10*p-2),p=3..infinity) = infinity
p waechst aber natuerlich nicht linear
lassen wir es quadratisch wachsen :
product((p^2-1)/(p^2-2),p=3..infinity)=1.536421919
Schon jetzt konvergiert das Produkt. (uebrigends gegen sehr eigentuemliche algebraische Ausdruecke, die natuerlich die Gammafunktion als allgemeine Fakultaet enthalten)
product((p!-1)/(p!-2),p=3..infinity)
kann Maple nicht loesen,komisch gestern ging das noch,stattdessen
product((p!-1)/(p!-2),p=3..10)=
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..10))= 1.320027113
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..100))=1.320027149
Wenn p^2 konvergiert muss auch p! konvergieren.
(Ich dachte anfangs in p wird die Primfakultaet eingesetzt.
Schliesslich noch ein Programm fuer die reale Situation :
a:=1;
> for i from 2 to 10000 do
> p:=ithprime(i);
> a:=evalf(a*(p-1)/(p-2));
> od;
ithprim(10 000)=104729
a=15.597311318
Da liege ich noch weit unter deinem numerischen Experiment ..
Moment geht gleich weiter ... i=100 000 laeuft gerade