[richy]

Meine Berechnung zu den Fib Zahlen hat auch etwas mit der Chaostheorie zu tun. Aber zuerst moechte ich die Rechnung nochmal verallgemeinern:
Ich betrachte zunaechst die allgemeinere Gleichung :
1) f[k+1]=p*f[k]+q*f[k-1]
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Wieder soll der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Folge bestimmt werden.
Meine Vermutung lautet, dass dieser durch die Folge s[k+1] bestimmt wird
2) s[k+1]=p+q/s[k]
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Die Betrachtung von s[k] ueber Nenner und Zahler fuert zum Erfolg:
s[k+1]=Z[k]/N[k+1]=p+q/(N[k]/Z[k] .... = (p*Z[k]+q*N[k])/Z[k]=(p*Z[k]+q*Z[k-1])/Z[k]
Und die Gleichung 2) strebt gegen einen Grenzwert der bestimmt ist durch :
s=p+q/s

ERGEBNIS
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Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Iteration :
1) f[k+1]=p*f[k]+q*f[k-1]
wird bestimmt durch die Iteration :
2) s[k+1]=p+q/s[k]
deren Grenzwert folgende Gleichung erfuellt :
s=p+q/s
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Irgendwie ist das schon verblueffend einfach.

@Hamilton
Ich hatte schon angedeutet dass s=p+q/s die charakteristische Gleichung der
Z Transformiertenvon Gl 1) darstellt.
Ist es Zufall, dass diese auch den Grenzwert darstellt ?
Gibt es in der Mathematik solch einen Satz ueber lineare Differenzengleichungen ?
Ich will jetzt mal ausprobieren ob dies auch mit der charakteristischen Gleichung einer linearen Differentialgleichungen funktioniert.

@soon
Der goldene Schnitt spielt in nichtlinearen dynamischen Systemen insofern eine Rolle,
dass er die irrationalste aller Zahlen darstellt im Sinne einer Bruchapproximation.
D.h. Frequenz oder Wellenzahlverhaeltnisse im goldenen Schnitt vermeiden Resonanzstellen.
Der goldene Schnitt ist ein Antiresonator.
Wenn es nun so waere dass z.B. 1+Wurzel(2) ebenfalls ein guter Antiresonator ist, so muesste man auch solche Verhaeltnisse in der Natur wiederfinden.
Es waere auf jeden Fall mal interessant die Verhaeltnisse der Zahlen die frac(x)=frac(1/x) erfuellen darzustellen.
In der obigen Erweiterung muss zunaechst q=1 gelten um diese Bedingung immer zu erfuellen. frac(x)=frac(q/x) bedeutet nicht immer dass x irrational ist.

Beispiel:
s=1+2/s hat die positive Loesung 2, denn 2=1+1
Die Loesung 2 ist nicht irrational denn hier gilt frac(s)=frac(2/s)
Es gibt aber auch Faelle in denen frac(s)=frac(k/s) zu einer irrationalen Loesung fuehrt.
Das ist natuerlich auch sehr interessant.