[TomS]

Du kannst keine physikalische Uhr entlang einer lichtartigen Geodäten C bewegen um damit eine Eigenzeit τ[C] zu messen. Insofern hat die Wikipedia recht, wenn sie "Eigenzeit" mit messbarer Eigenzeit einer physikalischen Uhr" gleichsetzt

Du kannst jedoch das Integral berechnen, d.h. Eigenzeit als geometrische Größe = "Länge" einer zeit- oder lichtartigen Kurve definieren.

τ[C] = ∫ dτ = 0 (da dτ = 0; sorry, const. ist irreführend)

Zu deiner Bemerkung "man könne das Integral hinschreiben, aber welchen Sinn macht das, wenn es das Ruhesystem des Photons nicht gibt? Die Anwendbarkeit setzt m.E. ein solches voraus".

Nein, um das Integral zu berechnen benötigt man kein Ruhesystem des Photons. Insbs. existiert das Integral auch ohne Koordinatendarstellung; und wenn du zur Berechnung eine Koordinatendarstellung benutzen möchtest, dann steht dir jedes beliebige Koordinatensystem zur Verfügung - nur eben nicht das Ruhesystem des Photons.