Zitat:
Zitat von zeitgenosse
Bravourös!
Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:
Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?
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Hmm, habs mal probiert, aber ohne Gewähr !
Keine Ahnung, ob man die Tragfähigkeit so rechnet ! Habe heute das erste Mal seit 20 Jahren Statik-Kram kurz angeschaut. Bin also von einem Balken ausgegangen, auf den ein Moment wirkt, dass ihn durchbiegt. Der Balken hat die Breite a und Höhe b.
Hab mir die Formel für die Spannung rausgesucht:
sigma(z)=M*z/I mit I=integral(z²)dA wobei z die Koordinate ist, in der durchgebogen wird, also obdA nach unten, wenn der Balken waagerecht liegt. z=0 ist in der Mitte vom Balken.
Wenn man das nach M umstellt, und von -b/2 bis b/2 über z integriert,
dann ergibt sich:
M = sigma_max*a*b²/6
sigma_max ist die maximal erlaubte Spannung, Zug oder Schubspannung, je nachdem, was kleiner ist.
Nebenbedingung ergibt sich aus dem Kreis um den Balken:
(a/2)²+(b/2)²=r <=> a²+b²-4r²=0
Ok, da die Tragfähigkeit maximal werden sollte, maximiere ich das Moment M und bastele den Lagrange-Ansatz damit zusammen:
H = sigma_max*a*b²/6 + l1(a²+b²-4r²)
1) dH/da = sigma_max*b²/6+2*l1*a = 0
2) dH/db = sigma_max*a*b/3+2*l1*b = 0
3) dH/dl1 = a²+b²-4r² = 0
Wenn ich das auflöse, bekomm ich raus:
a=2*r/sqrt(3) ~ 11.5cm
b=sqrt(2)*a = 2*sqrt(2)*r/sqrt(3) ~16.3 cm
Keine Ahnung, ob das stimmt. Wie gesagt, den Ansatz für die maximale Tragfähigkeit das maximale Biegemoment anzusetzen, hab ich mir schon aus den Fingern gesaugt. (edit: Ok, scheint zu funktionieren, das gleiche wie bei EMI.)