@Emi
Vielen Dank. Die Rechnung muss ich erstmal genauer nachvollziehen.
@criptically
Zitat:
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Die Gleichung kann auch niemals stimmen wie man durch einfaches Umformen verifizieren kann.
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Was soll an einer PDE denn nicht stimmen ?
Ausser dem Argument , dass sie Einstein aufgestellt hat :-)
Man muss deren allgemeine Loesung finden. Aus Nebenbedingungen eine spezielle Loesung.
Das ist alles.
Zitat:
Also man erhält
(V²-v²)/v+(∂x'/∂t)=0 oder
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Ich weiss nicht wie du diese Gleichung aus "also" herleitest aber vielleichzt meinst du die Steigung der Charakteristik der PDE und die ist in der Tat
gleich dx'/dt=-(V²-v²)/v,
Dafuer verzapfst du im folgenden einen ziemlichen mathematischen Bloedsinn.
1) x'=x-v*t
2) t'=t
beschreiben eine Koordinatentransformation von K nach K', die auf eine PDE in dieser Form gefuehrt hat.
(Wobei 2) aus physikalischen Aspekten nicht zutrifft)
Waere die PDE im System (x,t) formuliert waere sie von anderer Gestalt
Aus 1 und 2 folgt ueber das totale Differential fuer eine Funktion w(t,r):
∂w/∂t=∂w'/∂t'-v*∂w'/∂r'
In der quasilinearen Form der PDE waere von dem Faktor vor der partiellen oertlichen Ableitung v zu subtrahieren. Und um diesen Schritt rueckgaengig
zu machen v also zu addieren. Die Gleichung haette in (t,x) also die Form :
∂tau/∂t+[(c^2-v^2)/v+v]*∂tau/∂x=0
∂tau/∂t+(c^2)/v*∂tau/∂x=0
(Die uebliche Konvention ist es die zeitliche Ableitung von Faktoren frei zu machen.)
Und wie du siehst kompensiert der Beobachtersystemwechsel den Transportvorgang nicht und daher sind die Steigungen der Charakteristik der PDE auch nicht identisch mit dem v der Koordinatenstransformation.
Das sieht man auch sofort ohne eine Rechnung denn die PDE wuerde ansonsten lauten :
dtau/dt=0
Daher ist dein naechster Fehler auch unerheblich
Zitat:
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Da aber x'=x-vt bekommt man ∂x'/∂t=∂x/∂t-v
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Tatsaechlich ? Weist du wie man eine partielle Ableitung bildet ?
Und den Rest deiner "Berechnung" kann man sich soundso sparen.
Anschauliches Beispiel deines Denkfehlers :
Die PDE beschreibt einen Transportvorgang mit der Geschwindigkeit
(c^2-v^2 )/v
Die Transformationsgleichung x'=x-v*t beschreibt ein bewegtes Koordinatensystem, Beobachter K' das sich gegenueber K mit v bewegt.
Eine Packung Spaghetti wird mit der Geschwindigkeit C1 auf dem Warenfoerderband transportiert. (PDE)
Du laeufst neben der Ware auf dem Foerderband mit C2 zur Kassiererin.(Bewegtes Beobachtersystem))
Und sagst dieser:
Mit ihrem Transportband stimmt erwas nicht, weil es eine andere Geschwindigkeit aufweist als ich : (C1<>C2)
Na toll
Es ist sinnlos mit Gleichungen rumzuhantieren, wenn man nicht weiss was diese ausdruecken..