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Und wie würde das ganze kontinuierlich aussehen?
Muss ich da über 2 verschiedenen Bereiche integrieren (also analog zu den 2 Summen die dann zusammengefasst werden?
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Ja genau: Orthonormalität der Basis drückt man dann über die Delta-Funktion statt das Kronecker-Delta aus, d.h.
statt: < ai|aj > = δi,j
nun: < a′|a > = δ(a′ −a)
Die Deltafunktion in dem Doppelintegral bewirkt, dass die gemischten Terme rausfliegen und eine einfache Integration übrigbleibt.
In deiner letzten Formel oben fehlt m.E. übrigens die Summe über n vor dem Term
|c_{n}|^2
Im Falle des kontinuierlichen Spektrums würde dann ein entsprechendes Integral über die Koeffizientenbetragsquadrate resultieren.