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Alt 05.03.13, 21:43
ghostwhisperer ghostwhisperer ist offline
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Standard quantisierte Mollusken

Zitat:
Zitat von Marcus Ulpius Beitrag anzeigen
In der Physik wird sehr oft der Begriff Tensor als Abkürzung/Synonym für das eigentlich betrachte Tensorfeld (Ein Tensorfeld weist jedem Punkt im Raum einen Tensor zu) verwendet - Aber das ist dir vermutlich schon bekannt.
Das schon. Letztlich sind es ja 10 nichtlineare gekoppelte Differentialgleichungen. Über die faktisch Punkt für Punkt integriert werden muss um letztlich die Raumzeit an sich zu erhalten. Im allgemeinsten Fall. Das die Herleitung zB der Schwarzschildlösung einfacher aussieht liegt ja nur an bestimmten Symmetrien.
Ich hab übrigens erstmals mehr über diese Mathematikform gelernt, als ich für meinen Brötchengeber einen Bildfilter auf Grundlage von Diffusions-Tensoren programmiert hab. Auch diese Art Lösung funktioniert nur mit zeitlicher und räumlicher Entwicklung. Dazu eine Frage!
Ich hab dabei gelernt, dass dieser spez Tensor die Eigenart hat einen hereinzugebenden Vektor zu strecken/stauchen, in Abhängigkeit der Richtung des Urvektors. Daraus kann man eine "Form" des Tensors ableiten, eine Ellipse. Gilt das auch für irgendeinen Tensor der ART??

Zitat:
Zitat von Marcus Ulpius Beitrag anzeigen
Was mich interessiert: Was hast Du eigentlich bezüglich der Gravitation als Quant im Sinn?
Aus verschiedenen Gründen denke ich, dass die Quantisierung der RZ in erster Linie zu vierdimensionalen Quanten führen müsste (daher bin ich nicht sicher wie gut oder schlecht die Loop-QGT letztlich sein wird): In stetigen Theorien sind die Quellenausdrücke immer räumliche Dichten von etwas. Wenn ich also ein raumzeitliches Integral über eine Energiedichte bilde, bekomme ich eine Wirkung. Da Wirkung nur in Quanten vorliegt.. der Schluss ist fast schon zwingend. Eine sekundäre Quantelung könnte anschließend daraus folgen, dass die Anwendung auf ein bestimmtes Koordinatensystem für bestimmte Unterräume des Gebildes wiederum ganzzahlige Werte ergeben muss. Das schränkt aber meiner Überlegung nach die Anzahl möglicher Lorentztransformationen bei kleinsten Skalen ein. Ich hab diese Sichtweise mal auf die Einsteingleichung angewandt. Wenn ich das Ergebnis mit bekannten Lösungen vergleiche, bekomme ich für schwarze Löcher quantisierte Ereignishorizonte, Massen und -im KerrFall- Drehimpulse.
Und das ohne die Planckfläche künstlich einfügen zu müssen, sie ergibt sich vielmehr aus dem math Ansatz.

Zitat:
Zitat von Marcus Ulpius Beitrag anzeigen
:-D Du bist ja der Schärfste, ghosti!
Willst Du nicht erst einmal die Gravitation quantisieren und dann das Ergebnis auf Gravitationswellen anwenden?
Würd ich gern, kann ich aber leider noch nicht.. Ich kann ein bisserl gleichsetzen und so aber leider nicht im Sinne von Struktur weiterentwickeln. Daher ein kleiner Happen aus meinem Dokument, wie ich stattdessen für lineare (!) Wellen vorgegangen bin. Guten Appetit
Zitat:
Es wird im Folgenden der Realteil der Wellenfunktion mit der Amplitude F0 betrachtet:
e(x,t) = F0 * e(i*(ω*t-k*x))
eR(x,t) = F0*cos (ω*t-k*x)
eR’(x,t) = -1*F0*(-k)*sin(ω*t-k*x)
eR’’(x,t) = -1*F0*k^2*cos(ω*t-k*x)
Mit eR’’ = R00
Durch Gleichsetzung der Krümmung der Wellenfunktion mit dem Ausdruck aus der ART
R00 = -8*π*γ/c^4 * w
ergibt sich eine orts- und zeitabhängige Energiedichte
w(x,t) =E/V= F0*k^2*c^4/(8*π*γ)*cos(ω*t-k*x) // Integral über x in den Grenzen 0 bis L
Die Energie-Dichte wird durch Integration über x zu einer Energie-Flächendichte
W(x,t)/A = F0*k*c^4/(8*π*γ)*sin(ω*t-k*x) // Betrag von x= 0 bis Lambda
W/A = 4* F0*k*c^4/(8*π*γ) = F0*k*c^4/(2*π*γ)
W/A = F0*c^4/(γ*λ) // Integral über Minimalfläche A
Dieser Ausdruck ist bereits proportional zum Kehrwert der Wellenlänge und damit prop. zur Frequenz!
Nun sind Dichtewerte aufgrund der Stetigkeit von Raum und Zeit als punktuell zu betrachten, d.h. sie haben die Ausdehnung oder auch Reichweite Null. Wird aber die Quantelung der Raumzeit vorausgesetzt, kann ein Dichte-Wert über eine Mindest-Ausdehnung wirken und über diese als konstant angenommen werden.
Die Energie-Flächendichte wird daher versuchsweise über eine Fläche integriert, welche eine Kreisfläche mit dem Radius vom Betrag einer Plancklänge darstellt:
A= A0*π = π* ħ*γ / c^3
W = F0*c^4 / (γ* λ) * π*ħ*γ/c^3
W = F0*π*ħ*c / λ
W = F0 * h/2 * c/ λ = ½ * F0 *h *f
Bis auf einen Amplituden-Faktor ½ F0 ist das Ergebnis identisch mit der Formel zur Energie-Quantelung aus der Quantenmechanik. F0 stellt die Amplitude dar. Da Gravitationswellen zwei zueinander senkrechte Schwingungen der Metrik darstellt, kann der Faktor ½ für gleiche Amplituden eliminiert werden.
Schwierigkeiten macht die Interpretation der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Bei dieser Herleitung wurde die Krümmung der Wellenfunktion mit der Krümmung der Raumzeit – die hier als Welle propagiert – identifiziert. Daraus scheint zu folgen, dass das Betragsquadrat der Wellengleichung, die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit dem Betragsquadrat der Metrik gleichgesetzt werden muss.
Weiterhin folgt die Gleichung zu linearen Gravitationswellen aus einer linearisierten Form der ART und berücksichtigt nicht die Selbstwechselwirkung der Gravitation.
Man könnte nun einwenden, dass das Ergebnis vorhersehbar war, da die Plancklänge aus einer Kombination von Quantenmechanik und ART folgt:
λ cq = ħ/ m*c = Rg = γ*m/c^2
Dennoch ist diese Herleitung die einzige, mit welcher die Energie-Frequenz-Relation eindeutig hergeleitet werden kann. Die Divergenz (Krümmung) aller anderen konservativen Felder führt zu Ladungs- bzw. Stromdichten und kann daher nicht zur Definition einer Energie herangezogen werden. Ihre eigenen Energiedichten hingegen sind proportional zur ersten Ableitung ihrer Potentiale:
z.B. w = ½ * ε0 * E^2 + ½ * 1/µ0 * B^2 = ε 0 * E^2
Mit E^2(x,t) = Em^2 * cos (ω*t-k*x)^2
muss über das Quadrat der Kosinus-Funktion integriert werden:
∫ cos(-k*x)^2 *dx = x/2 + sin(-2*k*x) / (-4*k)
Das Integral über eine Wellenlänge führt zu:
λ /2 + sin(4*π/ λ * λ) / (-4*k) = λ /2 + 0 = λ /2
W/A = ε 0 * Em^2 * λ /2
Auch nach dem Flächenintegral über A0 gibt es keinen Zusammenhang mit der Energie-Frequenz-Relation der Quantenmechanik. Die Energie nimmt mit der Wellenlänge zu statt ab!
Während der Entwicklung der ersten quantenmechanischen Formeln zur Schwarzkörperstrahlung wurde die Energie-Frequenz-Relation von Max Planck empirisch eingeführt.
Später zeigte es sich, dass sie für jede beliebige Form der Energie gilt, unabhängig von der Struktur oder ihrer Herkunft. Der folgende Welle-Teilchen-Dualismus verknüpft die Intensität einer Welle mit einer Partikel- hier Photonenstromdichte:
I = ε 0 * Em^2 * c = h*f* n = [J/m3*m/s] = [Watt/m2]
n = [1/m2/s] Anzahl der Photonen der Energie h*f welche pro Sekunde durch eine Fläche strömen.
Aus der heuristischen Herleitung der Schrödingerschen Wellengleichung folgt, dass der Ausdruck für die Energiedichte einer Partikeldichte proportional ist. Sie beschreibt eine Wahrscheinlichkeit dafür Photonen am entsprechenden Ort anzutreffen. Dies gilt auch für ein einzelnes Photon, was zu schwierigen philosophischen Implikationen führt.
In der Schrödinger-Gleichung und besser sichtbar in der Dirac-Gleichung taucht der Ausdruck für die (gravitative!) Energiedichte indirekt wieder auf. Die Energie eines quantenmechanischen, relativischen Systems genügt der Gleichung:
(i * ħ * d/dt Ψ(r,t))^2 = c^2 * ħ^2 * ΔΨ(r,t) + m^2*c^4 * Ψ(r,t)
Der Ausdruck c^2 * ħ^2 * ΔΨ(r,t) entspricht der kinetischen Energie (c*p)^2 eines Teilchens, berechnet sich aber im Prinzip aus der Divergenz (Krümmung) der Wellenfunktion, genau wie schon bei der Quantisierung von Gravitationswellen und der Ableitung der Energie-Frequenz-Relation angesetzt. Da diese Wellen keine Ruhmasse besitzen, kann die Energie über den reinen Impuls berechnet werden, genauso wie bei Photonen.
Paradoxerweise hat somit die Gravitation, entgegen aller Lehrmeinung, einen innigeren Zusammenhang zur Quantenmechanik als alle anderen Kräfte! Das Problem – mit den Verfahren der Standardtheorie der Elementarteilchen lässt sich die Gravitation nicht quantisieren – ist weniger physikalischer als vielmehr mathematischer Natur!

Meine vorläufige Interpretation: Jede Psi-Welle wird von einer phasengleichen Gravitationswelle begleitet. Die Lösung scheint verwendbar, da die auftretenden Energiedichten weit entfernt von der Planckdichte sind und die Raumzeit somit äusserst flach ist. Der lineare Fall scheint ausreichend.

Na hats geschmeckt? Ich hab noch mehr solcher Fälle. Es wär mir nur lieber noch ein paar Jahre in die Entwicklung zu stecken.

MFG ghost

Ge?ndert von ghostwhisperer (05.03.13 um 22:25 Uhr)
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