[Hamilton]

Tja, hast Du denn schon die üblichen Bücher konsultiert?
Also z.B. mal den Cohen-Tannouji oder den Messiah gelesen?
Auch Nolting, Greiner, Schwabl und etliche andere haben das in ihren Einführungsbüchern drin.

Aber gut, ein Beispiel

Kommutator zwischen Ort und Impuls

[r,p] = rp - pr

Es macht Sinn an dieser Stelle das mal auf eine Funktion Ψ(r) loszulassen, sonst wird das schwierig...
Also schreiben wir

[r,p] Ψ = rp Ψ - pr Ψ

und jetzt setzen wir ein r = r; p = -ih ∇
(mit h meine ich hquer, aber das sieht doof aus, also schreibe ich h)

-rih ∇ Ψ + ih ∇ r Ψ = (Produktregel)
-rih ∇ Ψ + ih (Ψ ∇ r + r ∇ Ψ)=
ih Ψ ∇ r

Ok, was ist ∇ r?
r ist der Ortsvektor, also ist
∇ r = 1, vgl. 1dimensional d/dx x = 1

also
[r,p] Ψ = (rp - pr) Ψ = ih Ψ
kürzen wir Ψ
=> [r,p] = ih

Oftmals ist es empfehlenswert solche mehrdimensionalen Dinger in Komponenten zu lösen, dann bekommt man raus, wie die einzelnen Komponenten kommutieren
z.B. [r_i,p_j] = ih δ_ij
das heißt, dass r_1 durchaus mit p_2 kommutiert, aber nicht r_1 mit p_1