Zitat:
Zitat von piet
Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben:
Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4
zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert:
dx/dt = i/h(quer) ([H, x])
dp/dt = i/h(quer) ([H, p])
"Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den
Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im
Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2."
Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse:
Für den Kommutator [H, x] = 0 |
Das stimmt doch nicht: x kommutiert zwar mit den x-Termen im Hamiltonian, aber natürlich nicht mit dem 1. Term ~p^2.
[p^2,x] = ppx - xpp =
= pxp - pxp +ppx -xpp =
= pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp - xpp + pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp + [p,x]p + p[p,x] -xpp = [p,x]p + p[p,x]
wegen [p,x]=-i*hquer
= 2*i*hquer*p
oder du setzt für p explizit d/dx ein und verwendest die Produktregel beim Durchschieben von x auf die linke Seite. Kommt natürlich dasselbe raus.
... die 2m im Nenner weggelassen.
Wenn dieser Kommutator verschwände, dann wären Energie und Ort simultan scharf, oder - anders gesagt - dann hätten die Energieeigenfunktionen dieses Problems (harmonischer Oszillator) scharfe x-Werte. Die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators kennt man ja,
siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...tenmechanik%29
Der Grundzustand z.B. ist
Man erkennt leicht, dass es eine endliche Breite in x gibt. x und E sind also nicht zugleich scharf!
Den Rest habe ich mir nicht angeguckt, muss jetzt joggen bevor der nächste Regenguss kommt.
