Hier ist ein ganz interessanter Artikel. Sie starten mit separablen Wellenfunktionen für unabhängige Elektronen, nehmen dann den Abstoßungsterm hinzu sowie weitere Korrekturen.
http://web.ift.uib.no/AMOS/PHYS261/H...2013.12.04.pdf
Recht umfassend sieht das hier aus, insbs. weil auch Näherungsmethoden diskutiert werden, die mathematisch recht einfach zugänglich und einigermaßen anschaulich sind:
https://arxiv.org/pdf/0907.2614.pdf
Ich finde insbs. die 1/Z-Entwicklung interessant; jedenfalls ist existieren gebundenen Zustände auch für Z < 1. Das Bild eines stark gebundenen ungestörten Elektrons im 1s sowie eines nur schwach gebundenen zweiten Elektrons halte ich für fragwürdig, wenn man antiparallelel Spins betrachtet.