Zitat:
Zitat von Bernhard
Man kann in einem N-dimensionsalen euklidischen Raum eine M-dimensionsale Untermannigfaltigkeiten einbetten.
Über eine saubere Definition läßt sich dann ein induzierter metrischer Tensor auf der Untermannigfaltigkeit berechnen.
Sobald das metrische Tensorfeld gegeben ist, kann man im Prinzip über verschiedene Krümmungstensoren die lokale Geometrie der Untermannigfaltigkeit untersuchen. Ein wichtiges Werkzeug ist dabei der riemannsche Krümmungstensor, der sich alleine aus dem metrischen Tensor berechnen läßt.
EDIT: Ein bekanntes Beispiel für ein solches Vorgehen ist übrigens das flammsche Paraboloid.
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Kann man dann umgangssprachlich bzw. "mathematisch unpräzise" sagen, dass die höhere Dimension (N) des euklidschen Einbettungsraums mathematisch in das Tensorfeld überführt wird und zwar im Sinne einer Isomorphie, d.h. beide mathematischen Beschreibungen wären im Grunde bedeutungsgleich? Denn ich verstehe es so, dass die mathematische Handhabung durch Verwendung der Differentialgeometrie verbessert wird bzw. erst ermöglicht wird. Aber prinzipiell wäre die Untersuchung der M-dimensionalen Mannigfaltigkeit (=Hyperfläche im N-dim. Einbettungsraum) auch im Einbettungsraum möglich (geeignete mathematische Methoden vorausgesetzt)?
Ich habe deswegen zu Beginn auch den Satz von Whitney erwähnt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Einbet...tz_von_Whitney
Zitat daraus:
Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt.