Zitat:
Zitat von Ich
Du brauchst den Satz von Nash, weil du isometrisch einbetten willst. |
Danke!
Ein Zitat aus dem Wiki-Artikel bringt es auf den Punkt:
"Man kann sich riemannsche Mannigfaltigkeiten also stets als Untermannigfaltigkeiten eines euklidischen Raumes vorstellen. Die Dimension des euklidischen Raums ist dabei im Allgemeinen allerdings deutlich größer als die der riemannschen Mannigfaltigkeit."
Dann lautet meine Sicht der Dinge in etwa so (mal etwas formaler, um Schreibarbeit zu sparen):
1. E = der euklidsche Einbettungsraum
2. U = die Untermannigfaltigkeit von E
3. R = die Riemann Mannigfaltigkeit
4. Dim(E) = n
5. Dim(U) = m (m<n)
6. Dim(R) = m
U wäre dann isomorph zu R, benötigt aber zur vollständigen Beschreibung E, d.h. zur mathematischen Isomorphie werden die zusätzlichen Dimensionen von E, d.h. n-m benötigt. R kommt, da es eine andere mathematische Struktur als U hat, ohne diese Zusatzdimensionen aus. Um die Isomorphie zu garantieren, müssen diese Zusatzdimensionen in der R-Beschreibung aber irgendwo versteckt sein, sie können nicht verloren gehen.
Anders fomuliert: wenn ein physikalisches Objekt O (in diesem Fall die gekrümmte 4D-Raumzeit der ART) gleichwertig durch U und durch R beschrieben werden kann, muss die tatsächliche Dimension von O der Dimension von U entsprechen, weil U die "natürliche bzw. "kanonische?" Beschreibung ist.
Ein Beispiel:
Die "natürliche" mathematische Beschreibung der 2D-Oberfläche einer 3D-Kugel benötigt einen 3D-Vektorraum. Wenn man diese Oberfläche mit Hilfe der Riemann-Geometrie beschreibt, reichen mathematisch 2 Dimensionen aus. Die Oberfläche dieser Kugel bleibt aber trotzdem weiterhin die Oberfläche einer 3D-Kugel, hat also dreidimensionalen "Charakter". Die Oberfläche selbst ist aber zweidimensional, weil sie als Fläche im 3D-Raum liegt.
Übertragen auf die 4D-Raumzeit würde das bedeuten, dass sie zwar 4-dimensional ist, in letzter Konsequenz aber 5-dimensionalen "Charakter" hat.
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Mir fällt auf Anhieb keine klarere Formulierung ein. "Charakter", "natürlich", "kanonisch" setze ich oben in Anführungszeichen, weil mir keine besseren Begriffe einfallen, möglicherweise läßt sich das aber präziser formulieren. Möglicherweise habe ich mich aber auch verrannt und es versteckt sich irgendwo ein Denkfehler.
