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Zitat von EMI
Sorry Text ist zu lang!! muss ihn teilen, geht gleich weiter.
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Weiter geht's.
Führt man folgende "Abkürzungen" ein, ergibt sich:
g11 = (∂
X1/∂x1)² + (∂X2/∂x1)² + (∂X3/∂x1)² + (∂X4/∂x1)²
g12 = ∂
X1∂X1/∂x1∂x2 + ∂X2∂X2/∂x1∂x2 + ∂X3∂X3/∂x1∂x2 + ∂X4∂X4/∂x1∂x2
g13 = ∂X1∂X1/∂x1∂x3 + ∂X2∂X2/∂x1∂x3 + ∂X3∂X3/∂x1∂x3 + ∂X4∂X4/∂x1∂x3
g14 = ∂X1∂X1/∂x1∂x4 + ∂X2∂X2/∂x1∂x4 + ∂X3∂X3/∂x1∂x4 + ∂X4∂X4/∂x1∂x4
g22 = (∂
X1/∂x2)² + (∂X2/∂x2)² + (∂X3/∂x2)² + (∂X4/∂x2)²
g23 = ∂
X1∂X1/∂x2∂x3 + ∂X2∂X2/∂x2∂x3 + ∂X3∂X3/∂x2∂x3 + ∂X4∂X4/∂x2∂x3
g24 = ∂X1∂X1/∂x2∂x4 + ∂X2∂X2/∂x2∂x4 + ∂X3∂X3/∂x2∂x4 + ∂X4∂X4/∂x2∂x4
g33 = (∂
X1/∂x3)² + (∂X2/∂x3)² + (∂X3/∂x3)² + (∂X4/∂x3)²
g34 = ∂
X1∂X1/∂x3∂x4 + ∂X2∂X2/∂x3∂x4 + ∂X3∂X3/∂x3∂x4 + ∂X4∂X4/∂x3∂x4
g44 = (∂
X1/∂x4)² + (∂X2/∂x4)² + (∂X3/∂x4)² + (∂X4/∂x4)²
Dabei ist
g12=
g21,
g13=
g31,
g14=
g41,
g23=
g32,
g24=
g42,
g34=
g43
Nun stellt sich das Quadrat des Linienelements in den neuen Koordinaten so dar:
ds² =
g11 dx
1² +
g22 dx
2² +
g33 dx
3² +
g44 dx
4²
....+ 2
g12 dx
1dx2 + 2
g13 dx
1dx
3 + 2
g14 dx
1dx
4
....+ 2
g23 dx
2dx3 + 2
g24 dx
2dx
4 + 2
g34 dx
3dx
4
wir können diese Summe noch weiter Abkürzen:
ds² = ∑
gμν dx
μ dx
ν , mit
μ,ν 1...4
Nach einem Vorschlag von Einstein wird das Summenzeichen weggelassen:
ds² =
gμν dx
μ dx
ν
Dieser kurze Ausdruck stellt 40 Summanden dar.
gμν ist hier der Tensor mit 10 Koeffizienten(10 Gravitationspotentiale) die das grav.Potential darstellen.
Er ist ein Tensor 2.Ranges welcher in der ART als Fundamentaltensor oder auch metrischer Tensor bezeichnet wird.
Gruß EMI