Hi
So eine Integraltransformation gibt es meines Wissens noch nicht.
Ich will im folgenden einfach mal bischen weiter mit den Fibonacci Zahlen herumspielen.
Bin mir natuerlich darueber im klaren, dass ich nicht der erste bin der dies tut.
Der Thread hier soll auch wieder ein Merkzettel fuer mich sein.
Kann auch sein, dass ich einige mathematische Ausdruecke falsch verwende.
Mit dem Gedanken eine Fib Integraltransformation herzuleiten beschaeftige ich mich schon laenger.
Allerdings ueber das Konzept nicht so ganz schluessig.
Konkret die Parameterwahl.
Wie kann man fundamental eine Integraltransformation herleiten ?
Prinzipiell ist dies mit der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate moeglich. Indem man Basisfunktionen B(a,t) waehlt die von einem oder mehreren Parametern a abhaengen.
Die Methode von Gauss ist eine diskrete Methode, mit der man nun versucht
ueber eine Summe von k Basisfunktonen B(a(k),t) eine vorgegebene Funktion
f(t) mit der Methode der kleinsten Quadrate zu approximieren.
Die Methode der kleinsten Quadrate ermittelt ueber Integration den Fehler in einem frei waehlbaren Intervall t=[t0..t1]
Enthaelt die komplette Aproximationsfunktion (meist eine Summe der Basisfunktionen) m Parameter und stehen m Bestimmungsgleichungen zur Verfuegung, so erhaelt man eine m*m Matrix, deren Inversen das Approximationsproblem loest.
Besonders einfach wird die Approximation wenn die Basisfunktionen ein
Orthonormalsystem bezueglich dem Integrationsintervall t=[t0..t1] bilden.
Aufgrund der Ausblendeigenschaft ist dann nur die Hauptdiagonale der m*m Matrix mit von Null verschiedenen Werten besetzt.
Solch ein orthogonales System stellen zum Beispiel die harmonischen Schwingungen dar. Und komplex zusammengefasst die komplexe Exponentialfunktion.
Die Orthogonalitaet der Basisfunktonen ist aber keine zwingend notwendige Voraussetzung. Sie erspart lediglich die Inversion der Bestimmungsmatrix.
Ueber die Methode der kleinsten Quadrate lasst sich jedes Set von Basisfunktionen, dass an die Problemstellung angepasst ist als Approximation verwenden.
Soweit sogut
Wie will ich jezt bei den Fibonacci Zahlen weiter vorgehen ?
Zunaechst moechte ich an deren kontinuierliche Form in der komplexen Ebene erinnern:
gt=0.681 ....
Realteil: 1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)*cos(k*PI) ) )
Imaginaerteil: - 1/sqrt(5)*exp(k*ln(gt)*sin(k*PI) )
Was kann man hier erkennen ?
Zum einen werden diese durch eine komplexe Exponentialfunktion gebildet.
Damit koente man die Ortogonalitaet ausnutzen.
Im Realteil der Fibonacci Zahle existiert noch der Term :
exp(-k*ln(gt))
gt ist kleiner als eins und daher ist dies der Anteil, der die Fibonacci Zahlen
exponentiell anwachsen laesst.
Und damit natuerlich auch den orthogonalen Charakter verdirbt.
Will ich diesen Charakter vordergruendig beschreiben oder den Mechanismus in der komplexen Ebene, der die Fibonacci Zahlen fuer ganzzahlige Werte auf die reelle Achse abbildet ?
Am besten waere natuerlich elementar die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden.
Da waere aber ein riesen Aufwand.
Ich untersuche daher erstmal eine ueber die Anfangswerte modifizierte Version der Fibonaccci Zahlen.