Hier also erstmal bischen Spielerei.
Die Z-Transformation zur Loesung der DZGL der Fibbonacci-Zahlen auf meiner Webseite haette ich mir sparen koennen, denn das Programm maple kann auch
Differenzengleichungen loesen.
Hie mal die Loesung fuer der DZGL
s[k+2]=s[k+1]+s[k]
fuer beliebige Anfangswerte c0=s[0], c1=s[1]
l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );
Das ist die uebliche Darstellung der Loesung
Man sieht hier aber schlecht, dass die Funktion fuer relle n komplexwerig ist.
Dies laesst sich ueber den evalc() Befehl von Maple erreichen :
l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );
Nun sieht man sehr schon, dass die Loesung komplexwertig ist und aus drei Teilen besteht :
A) Ein exponentiell wachsender Anteil
B) Exponentiell gedaempfter Realteil
C) Exponentiell gedaempfter Imaginaerteil
A+ B bilden dabei die Loesung fuer ganzzahlige k
Ueber letztere Darstelung ist es nun auch einfach die Anfangswerte so zu waehlen, dass verschiedene Charakteren der ueber die Anfangswerte verallgemeinerten Fibonacci DZGL in der komplexen Ebene eingestellt werden koennen.
Beispiel 1
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Unterdruecke ich einfach mal das Exponentielle Wachstum der Fib Zahlen :
Im Gegendatz zur ueblichen Darstellung sieht man sofort dass dies erfuellt ist wenn ich den ueber die Anfangswerte gebildeten Vorfaktors des Terms A geeignet waehle :
solve(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1=0,c0);
Die Loesung lautet :
c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
Fuer c1=-1 erhalt man (nicht unbedingt ueberraschenderweise)
c0= goldener Schnitt
Hier mal ein Bild der Spirale :
with(plots);
c1:=-1; c0:=-1/2*c1*(1+5^(1/2));
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c 1},s));
complexplot(l,n=0..50);
Ich habe mich nun gefragt, ob diese Bedingung c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
denn auch durch ganzzahlige Werte zu erfuellen ist :-)
Exakt nicht .... aber
-C0/C1=goldener Schnitt
daemmert hier jemandem etwas ?
Klar das Verhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen selbst strebt gegen den goldenen Schnitt, je groesser diese gewaehlt werden.
Wen wunderts ? :-)
Waehlt man also zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen als Anfangswerte, so ergibt sich eine recht tueckische Funktion.
Zuerst scheinen die Werte gegen Null zu streben.
Irgendwann schlaegt dann aber Term A durch, der nicht genau kompensiert ist und die Funktion waechst exponentiell.