Hi JGC
Das ist kein Fehler in der Deutung oder Zufall ! Schau mal was die fuer Punkte der Mandelbrotmenge verwenden. Die reelle Achse. Man kann das Bild so beschreiben, dass die Bifurkationen des Feigenbaumdiagrammes auch ausgezeichneten Punkten auf der reellen Achse der Mandelbrotmenge darstellen. Die Intervalllaenge von Zyklen.
Der Zusammenhang wird deutlich wenn man in der Mandelbrotmenge die Farbe nicht nur spektakulaer sondern besser sinnvoll waehlt. Indem man ihr zuordnet wieviele Zyklen der Attraktor der durchgefuehrten Iteration enthaelt. Ein farbliches Feigenbaumprinzip. Dann zeigt sich, dass die Hauptkreise gleichmaessig eingefaerbt sind. Also zu einem Zyklus gehoeren. Bei den Nebenkreisen weiss ich es nicht genau, denke aber es ist genauso. So ist man auf den Vergleich wohl auch gekommen. Naja und dann ist anhand deines Vergleichs klar zu welchem Zyklus der Kreis links neben dem grossen Apfel gehoert. Zu einem Zweierzyklus. Und das wuerde die Simulation auch zeigen. Ob man dies mathematisch steng herleiten kann ? Eher nicht. Nur dass der Vergleich sinnvoll ist.
Es ist nur ein Aufzeigen gleicher Verhaeltnisse.
Ebenso kann man in der Mandelbrotmenge ueber die Zyklen die Fibonacci Zahlen finden :
Sicherlich weil der goldene Schnitt zum quadratischen Dialekt gehoert.
Man kann in der Mandelbrotmenge so ziemlich alles finden :-)
Alles haengt somit zusammen.
Und damit kann man auch in der Verhulstgleichung so ziemlich alles finden.
Zum Beispiel wenn man die Zeit umkehrt !
Dann betrachtet man die Rueckwaertsiteration und damit die mehrdeutge Umkehrabbildung einer Wurzelfunktion. Wie bei meinem Phasomaten. Und genauso muss man dann komplex rechnen. Und erhaelt dann z.B. dieses Bild :
Eine Juliamenge. Aber erzeugt durch die Verhulst Gleichung bei rueckwaerts laufender Zeit. (Als ich 25 Jahre alt war erschien dies auf meinem Atari ST.Hatte keinen Drucker und es abphotografiert. Chemisch natuerlich :-). Auch hier spielt die reele Achse eine besondere Rolle. Alle Punkte sind komplexe Nullstellen des verketteten Verhulst Vorwaerts-Polynoms. Und die reelen Nullstellen damit echte Schnittpunkte.
Das kann man sich mathematisch ... nein logisch herleiten.
Es gehoert schon so zusammen :
z(k+1)=z(k)^2+C :
komplex : Mandelbrotmenge , Juliamenge
y(k+1)=r*y(k)^2-r*y(k)
reell : Feigenbaumdiagramm, Iterarionsfunktionen
Umkehrabbildung :
komplex : Juliamenge
Uebrigends eine super Grafik in deinem letzten Beitrag :-)
Gruesse