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Alt 07.10.09, 18:35
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ? EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.
Hallo Richy,

ja, die harmonische Reihe

(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...

divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte

(2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...

nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist. Wenn man aus einer Majorante sehr viele Glieder herausnimmt, dann könnte es sein, dass die neue Reihe konvergiert. Nur wenn (2) die Majorante zu (1) wäre, dann wäre die Divergenz von (2) bewiesen.

Der Beweis für die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte ist in [1] im Kapitel "3.2 Harmonische Primzahlreihe" zu finden. Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.

Im Buch wird auch erwähnt, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge:

(3) (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) +... konvergiert.

Die Summe von (3) beträgt ungefähr 1,902160582... und wird als Brunsche Konstante bezeichnet. Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.

Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben. Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.


Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Julian Havil
GAMMA. Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung.
Berlin 2007. ISBN=978-3-540-48495-0
http://www.science-shop.de/artikel/865725
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

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