Hi, amc!
Zitat:
Zitat von amc
Was sind "irrational slopes" und wie lassen die sich finden, wie kann man den folgen? Und hat Johann davon gesprochen?
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Nein, ich habe nicht davon gesprochen, aber das passt dennoch.
Sieh, auf einer Sphäre ist es egal in welche Richtung man läuft - man kommt immer im Ausgangspunkt an und der Weg ist auch immer gleich lang. Auf einem Torus (ob flach oder nicht) ist es nicht so. Je nachdem, wie man sich zur (abstrakten) Kante orientiert, ist der Weg länger oder kürzer. "irrational slopes" sind nun solche Wege, die unendlich lang sind - man "verfehlt" den Ausgangspunkt immer. Warum es dennoch dazu passt, was ich meinte? Weil, damit so etwas überhaupt erst möglich ist, müssen Wege sich unterscheiden. Und das war mein Punkt.
Das sogenannte "fundamental domain" für einen flachen 3-Torus ist allgemein ein Parallelepiped. Wenn die Kanten gleich lang sind, dann wird daraus ein Kubus. Mit diesen kann man "covering space" so parkettieren, dass weder Überschneidungen noch Hohlräume entstehen. 2D-Version:
Der rote Kreis repräsentiert unser Sichtfeld.
Zitat:
Zitat von amc
Ich habe Johann in etwa so verstanden: Macht es einen Unterschied, ob ich mich von einem beliebigen Ausgangspunkt, in Bezug zu einem durch die Topologie (Torus) vorgegebenen System, exakt horizontal / vertikal durch den Raum bewege oder geneigt dazu?
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Korrekt.
Zitat:
Zitat von amc
Und ich sage, es kann keinen Unterschied machen in welche Richtung man sich bewegt, weil es so ein ausgezeichnetes Bezugssystem nicht gibt. Damit liege ich entscheidend falsch?
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Ja.
Aus
Planck 2013 results. XXVI. Background geometry and topology ofthe Universe:
Zitat:
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The primary observable effect of a multi-connected universeis the existence of directions in which light could circumnavigate the space in cosmological time more than once, i.e., the radial distance χrec to the surface of last scattering exceeds the size of the universe. In these cases, the surface of last scattering can intersect the (notional) edge of a fundamental domain. At this intersection, we can view the same spacetime event from multiple directions — conversely, it appears in different directions when observed from a single point.
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Stell dir vor, unser Sichtfeld (wie im obigen Bild) würde die (abstrakten) Kanten schneiden. ...
Nachtrag:
Nur bei einer Sphäre wären alle Richtungen dennoch gleichberechtigt.
Grüße,
Johann