Mich hat das 911 Thema nicht gestoert :-)
Bezueglich dem Vergleich DGL und DZGL ist mir inzwischen einiges klarer geworden.Die Substitution stellt ein wichtiges Hilfsmittel bei der Loesung nichtlinearer Differentialleichungen dar.Hierbei nuetzt man aus, dass nicht nur die Funktion zu substituieren ist wie
u(x)=g{y(x)} => y(x)= g_invers{u(x)}
sondern auch das Differential
y(x)=g_invers{u(x)}
dy(x)/dx=dg_invers{u(x)}/dx=dg_invers{u}/du*du/dx
Man denke sich y(x) und dy(x)/dx in die DGL eingesetzt.
Wird die Abbildung g{y(x)} geschickt gewaehlt, laesst sich die DGL vereinfachen und oft sogar linearisieren oder loesen.
Die Substitutionsregeln wie in der
Bernoulli DGL koennen bei der DZGL leider nicht einfach uebernommen werden. Denn die Verschiebung wird gleich behandelt wie die verschobene Funktion :
u(k)=g{y(k)} =>
y(k)= g_invers{u(k)}
u(k+1)=g{y(k+1)} =>
y(k+1)= g_invers{u(k+1)}
Man sieht. An der Gestalt aendert sich hier zunaechst nichts. Erst wenn man einsetzt macht sich die Substitution nur alleine durch die Nichtlinearitaet bemerkbar. Und das scheint meist nicht ausreichend. Eine wichtige Substitutionsform fuer quadratische Nichtlearitaeten scheint von folgender Gestalt zu sein :
u(k)=g{y(k+1)}/g{y(k)}
Man bildet das Verhaeltnis der Iteration und versucht mittels einer Funktion g{} dieses zu vereinfachen. Im Idealfall Konstant zu halten. Denn dann ist die Loesung gefunden.
Man fuehrt somit
ZWEI Substitutionen durch !
1)
Abbildung auf einen Raum z
z(k)=g{y(k)}
z(k+1)=g{y(k+1)}
2)
Abbildung des Verhaeltnisses auf einen Raum u
u(k)=z(k+1)/z(k)
Beispiel (in umgekehrter Reihenfolge zur Erzeugung einer DZGL :
***********************************************
Annahme :Wir haben ein konstantes u gefunden :
u(k)=const
z(k+1)/z(k)=const
und koennen somit sofort die Loeung fuer z[k] angeben
z(k)=z0*const^k
(Dies entspricht einer Art Exponentialansatz)
**************
Angenommen z(k) hatte folgende Substitution :
z(k)=ln(y(k)-0.5)
Dann kennen wir die Loesung von y(k)
ln(y(k)-0.5)/ln(y0-0.5)=const^k
ln(y(k)-0.5)=ln(y0-0.5)*const^k
ln(y(k)-0.5)=ln( (y0-0.5)^const^k)
y(k)-0.5=(y0-0.5)^const^k
Loesung :
*******
y(k)=(y0-0.5)^const^k+0.5
*********************
Konstruktion der zugehoerigen DZGL :
****************************
Es galt :
z(k+1)/z(k)=const
daher
ln(y(k+1)-0.5)/ln(y(k)-0.5)=const
daraus koennen wir die DZGL zur Loesung konstruieren :
ln(y(k+1)-0.5)=ln((y(k)-0.5)^const)
y(k+1)-0.5=(y(k)-0.5)^const
y(k+1)=(y(k)-0.5)^const+0.5
**********************
Die Konstante ist in der konkreten log Substitution somit der Grad der Gleichung, der ueber Verkettung das verkettete Polynom const^k ten Grades erzeugt.
Auf diese Weise habe ich jetzt auch rein analytisch die Verhulst Gleichung in wenigen Zeilen fuer r=2 geloest :
(Man sollte dazu aber vorher schon die Loesung kennen (z.B meine graphische Methode )
http://www.quanten.de/forum/showpost...5&postcount=29
Ich meine uebrigends die r=4 Loesung von Stephan Wolfram ist nicht ganz korrekt.
Edit
Wolframs Loesung ist korrekt.
Gruesse