numerischer Versuch:
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Direker Vergleich von Wolframs Loesung mit der Iteraton :
restart;
with(plots):
Digits:=20;
N:=100;
s:=0.8;
sta:=s;
for k from 1 to N do
gagga[k]:=1/2*(1-cos(2^(k)*arccos((1-2*sta))));
s:=4*s*(1-s);
loes[k]:=s;
od:
druck2:=seq([i,gagga[i]-loes[i]],i=1..N):
plot([druck2],r=0..N,style=line);
Dargestellt wird die Differenz zwischen Iteration und analytischer Loesung :
Rechnung mit einer Genauigkeit von 20 Stellen :
Rechnung mit einer Genauigkeit von 30 Stellen :
Wolframs Loesung ist korrekt !
Die Loesung enthaelt den Ausdruck 2^k. Daher kann sie auf dem Digitalrechner nur annaehernd berechnet werden. Bei einer Aenderung der Rechengenauigkeit zeigt sich dies deutlich.
Warum macht sich der von mir gezeigte "Fehler" nicht bemerkbar ?
Auf beiden Seiten der Gleichung wird der cos gebildet. Und dieser ist eine gerade Funktion. Wahrscheinlich deshalb. Es war dennoch wichtig zu zeigen , dass gilt
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
--------------------------- = 2
arccos|1-2*y(n)|
Der Betrag ist wichtig.
Es muss noch gezeigt werden warum dieser Zusammenhang ueberhaupt gueltig ist.
Dieser Zusammenhang gilt fuer alle verketteten Polynome p[k+1] und p[k] !
Also Polynome 2^k ter Ordung.
Der Zusammenhang entspricht dem Logarithmengesetz log(x^a)=a*log(x)
Das witzige ist, dass ich fuer meine Loesung damals im Grunde die selbe Methode angewendet habe wie Wolfram, aber in einer graphischen Anschauung.