Thema: Eichbosonen
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Alt 16.03.19, 17:59
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TomS TomS ist offline
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Standard AW: Eichbosonen

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Laut Wikipedia ... stellt man erstmal eine lokale Eichinvarianz fest.
Ich halte diese Herangehensweise für wenig hilfreich, man stellt nämlich überhaupt nichts dergleichen fest. Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz ist zunächst lediglich ein mathematisches Hilfsmittel zur Konstruktion funktionierender Theorien. Die lokale Eichinvarianz besagt im wesentlichen, dass die mathematische Formulierung zu viele Freiheitsgrade enthält, die letztlich unphysikalisch sind und eliminiert werden müssen.

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Man macht also lokal eine Transformation, die die Physik nicht ändern soll. Damit die Lagrangedichte invariant gegenüber dieser Transformation ist, muss man weitere Terme einführen, die genau ein Eichbosenfeld beschreiben.
Das ist die mathematische Vorgehensweise, jedoch keine physikalische Aussage.

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Meine Frage: Kann man das Eichbosonenfeld dann auch immer lokal wegtransformieren? Wäre sehr komisch!
Nein, kann man nicht.

Man muss dies m.E. anders aufziehen.

Stell dir vor, du möchtest die Beschreibung eines freien Teilchens auf einer Kugeloberfläche S² beschreiben. Das ist geometrisch ziemlich kompliziert. Stattdessen schreibst du die Lagrangefunktion des freien Teilchens in drei Dimensionen hin, plus einen Zusatzterm mit Lagrangemultiplikator λ, der die Bewegung des Teilchens auf die Kugeloberfläche reduziert, d.h.

L[S²] = L[R³] + λ(r² - R²)

Letztlich führt dies dazu, dass der zu r kanonisch konjugierte Impuls p verschwindet, d.h. r ~ R, p ~ 0. ~ Bedeutet dabei, dass diese Bedingungen erst nach Aufstellung der Bewegungsgleichungen angewandt werden dürfen, nicht auf L oder H selbst. D.h. λ und r sind unphysikalische Freiheitsgrade, also Hilfsgrößen.

Im Prinzip genau so - jedoch deutlich komplizierter - kann man die QED und die QCD formulieren und quantisieren. Man formuliert die Lagrangedichte so um, dass ein Term

L[QCD] = ... + A₀ G

resultiert.

Offenbar spielt die 0-Komponente A₀ die Rolle des Lagrangemultiplikators, G entspricht dem Gaußschen Gesetz. Im Gegensatz zu λ kann man aufgrund der Eichsymmetrie die Eichung A₀ = 0 wählen, d.h. A₀ eliminieren. Zuvor muss man jedoch die zu A₀ gehörende Euler-Lagrange-Gleichung

G ~ 0

mittels

∂L / ∂A₀ = 0

ableiten.

Der zu A₀ gehörige kanonische Impuls Π₀ ~ 0 verschwindet, da L bzw. der Feldstärketensor F keinen Term ∂₀ A₀ enthält.

Damit reduziert man das Eichfeld auf die räumlichen Komponenten, hat jedoch zusätzlich noch G ~ 0, was dem r² - R² ~ 0 entspricht. D.h. man hat neben dem Lagrangemultiplikator A₀ einen weiteren unphysikalischen Freiheitsgrad, was dem o.g. r ~ R und seinem kanonisch konjugiertem Impuls p ~ 0 entspricht.

Im Gegensatz zu oben ist die Lösung des Gaußschen Gesetzes in der QCD jedoch nicht direkt möglich, da es im wesentlichen die Struktur

DE - J° ~ 0

hat, wobei die kovariante Ableitung D sowie der Farbstrom J° die räumlichen Komponenten der Eichfelder enthält. E ist das chromo-elektrische Feld und trägt außerdem einen SU(3)-Index. In der QED kann man das Gaußsche Gesetz dagegen explizit lösen und erhält dadurch das statische Coulombpotential.

Letztlich eliminiert man dadurch zwei unphysikalische Freigeitsgrade, nämlich A₀ sowie die longitudinalen Photonen bzw. Gluonen und erhält 4 - 2 = 2 physikalische, transversale Polarisationen. Die endgültige Theorie enthält nur noch zwei Eichfeldkomponenten, statt der ursprünglichen vier.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Geändert von TomS (16.03.19 um 18:04 Uhr)
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