Hi
Im allgemeinen loest man DZGL's ueber die Z Transformation. Im folgenden moechte ich versuchen einige klassische Loesungsverfahren fuer DGL's auf DZGL's zu uebertragen.
Gemaess der Z Transformation betrachte ich dabei z[k-n] bzw z[k+n] rein formell als n-te Ableitung.
dy/dt=f(t)/g(y) :
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Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN
Beispiel DGL :
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dy/dt=t^2/y^2
int t^2 dy = int y^2 dy
y(t)=t^3+ C
Vorgehensweise bei einer DZGL ?
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y[t+1]=t^2/y[t]^2
Maple kann solche nichtlineare DZGL's nicht loesen.
Dieser spezielle formale Ansatz fuehrt nicht weiter :
Summe y[n]^2, 0..t = Summe n^2, 0..t
Wir formen dennoch um :
y[t+1]*y[t]^2=t^2
Logarithmieren
ln(y[t+1]*y[t]^2)=2*ln(t)
...
ln(y[t+1]=-2*ln(y[t])+2*ln(t)
Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-2*z[k]+2*ln(k)
Maple kann hier lediglich eine Faltungssumme als Loesung liefern :
rsolve(z(k+1)=-2*z(k)+2*ln(k),z(k));
Ruecksubstitution :
z[k]=ln(y[k])
y(k)=exp(z[k]
Die Aufgabenstellung ist bereits zu schwierig. Formulieren wir eine etwas einfachere Aufgabe :
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DGL :
dy/dt=exp(t)/y
Die allgemeine Loesung lautet :
y(t)^2=2*exp(t)+C
DZGL :
y[k+1]=exp(k)/y[k]
y[k+1]*y[k]=exp(k)
ln(y[k+1])=k-ln y[k])
Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-z[k]+k
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Diesmal erhalten wir eine geschlossene Loesung (k durch t ersetzt) :
Test der Loesung :
Wir bilden y[k+1]*y[k] und erhalten tatsaechlich ueber einen Exponentenvergleich y[k+1]*y[k] = exp(k)
Graphischer Test :
Gewaehlt wurde der Anfangswert y(0)=1 :
y(t) ist wegen (-1)^k nur fuer geradzahlige k reell. Ansonsten komplexwertig :
complexplot(z,t=0..5);
Vergleich mit der Differenzengleichung :
Programmcode :
Zitat:
s[0]:=(1);
for i from 1 to 20 do
s[i]:=evalf(exp(i)/s[i-1]);
od;
|
Ausdruck :
Zitat:
s[0] := 1
s[1] := 2.718281828
s[2] := 2.718281829
s[3] := 7.389056096
s[4] := 7.389056102
s[5] := 20.08553692
|
Die Werte stimmen mit den Schleifenschnitten der reellen Achse ueberein.
=>
Wir haben tatsaechlich eine Loesung der DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] gefunden !
Dabei haben wir eine aehnliche Methode verwendet wir beim Trennen der Variablen. Diese enthaelt statt Integration eine Substitution und eine Logarithmierung. Die Methode funktioniert daher nur fuer einige spezielle Faelle.
Aber immerhin !
Anm: Auch in der Loesung y(k) faellt der Ausdruck 2^k auf.
Gruesse