Zitat:
Zitat von Bernhard
Hm? Der Unvollständigkeitssatz sagt doch nur, dass es in hinreichend mächtigen Axiomensystemen, immer mindestens einen Satz gibt, der weder beweisbar noch widerlegbar ist?
|
Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt letztendlich nur:
\mathbb N \Rightarrow \mathbb R \Rightarrow \frac{a}{b} \cdot \wedge \Rightarrow \mp \in \mathbb N
(Übersetzungstool:
https://www.matheboard.de/formeleditor.php )
Also: "Beweisbar für N" wird auf R abgebildet => a/b (= Q als 'abzählbar unendlich kann bewiesen werden) * Beweis => Falsch für "beweisbar in N".
Der Beweis ist richtig, da die Reellen Zahlen dadurch definiert sind, dass es darin nicht Teilerfremde Zahlen (Irrationale Zahlen) gibt (Beweis durch Wurzel 2 bzw. dem grossen Satz von Fermat), damit haben sie ein "Und" mehr als die Rationalen Zahlen, welche gleichmächtig sind wie die Natürlichen Zahlen (Cantorsche Mächtigkeitssätze) und dieses "Und" ist falsch für die Natürlichen Zahlen selbst. Damit ist der Gödelsche Unvollständigkeitssatz wahr.
https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis...s_2_bei_Euklid
Anschaulich kann man das so erkären:
Man kann beweisen, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt, oder trivial, unendlich viele Primzahlen. Das heisst aber nicht, dass man auch beweisen kann, dass es auch unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es kommt halt darauf an, in wie weit man die gewünschten Zahlenmengen mit der ZFC-Mengenlehre fassen kann und ob sie in Beziehung zueinander (also Nicht-Primzahlen mit den Primzahlen) gebracht werden können.