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Alt 08.10.09, 17:02
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Bauhof

Zitat:
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2)
und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen?
Im Grunde moechte ich wissen ob gilt :

UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3

Den nur dann kann ich das Minorantenkriterium anwenden.
Nach einem Produkt suchen dessen Faktoren kleiner als die des betrachteten Produktes sind und das dennoch divergiert.
Dafuer waeren natuerlich die Loesungen der Gleichung exp(1/x) = (x-1)/(x-2) interessant. Die ist aber transzendent.

Gibt es fuer x>3 keinen endlichen reelen Wert als Schnittpunkt, so gilt die UGL).
Ich meine aus meinen Punkten 1)2)3) geht dies bisher nicht hervor.
Ein Punkt 4) waere aber, dass sich die Ableitungen der beiden Funktionen fuer x>3 nicht schneiden. D.h. der Betrag der Steigung der gruenen Funktion ist stets groesser als der der roten. Sie faellt stest steiler.
Und daher kann sie sich nicht unterhalb der roten Funktion dem Grenzwert 1 naehern.
Ud aus selbigem Grund die rote Funktion auch nicht mehrmals schneiden.
Das koennte mit 1)2)3) ausreichend sein, das der einzigste Schnittpunkt im Unendlichen liegt.

Zitat:
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden.
Ja danke fuer das Angebot. Waere schon interessant, wobei der zweite Beweis die Betrachtung nicht benoetigt :

Zitat:
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Lemma (ohne Beweis):
∑ an = ∞ <=>
n

∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n
Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:

∏(1-1/p)^-1 = (Anwenden Taylorreihe)
p prim

∏ ∑ 1/p^n = ("Ausmultiplizieren")
p n≥0

∑ 1/n = ∞ (Divergenz der harmonischen Reihe)
n≥1
Minorantenkriterium
Von dem obigen Beweis nutzen wir lediglich :
∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Viele Gruesse
richy

Ge?ndert von richy (08.10.09 um 23:54 Uhr)
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